SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉM ATIQUES
11 suit de là que la dëveloppable circonscrite à la surface eu tous les points de la courbe (v') décrite par le point M sera le cylindre engendré par la tangente en M à la courbe (u). Cette simple remarque suffit à démontrer que les deux familles de courbes (w) et (if) forment un système conjugué ; et l'on voit de plus que les développables circonscrites à la surface en tous les points de l^une de ces courbes sont des cylindres, engendrés par les tangentes aux courbes de Vautre famille, menées au point où elles rencontrent la courbe considérée ( * ).
80. Enfin, nous traiterons le cas où la courbe mobile (C) qui engendre la surface est plane, et où les vitesses de tous ses points sont normales au plan. Nous supposerons que Ton ait pris le plan de la courbe pour plan des xy du trièdre mobile. On doit alors, dans les formules (i5) et (16), introduire les hypothèses
Si Ton admet, de plus, que Ton a choisi pour u l'arc de la courbe (C), on aura encore
et l'expression de l'élément linéaire deviendra (32) ds^ = du^ -h (^ -r- py — qx^dv*.
Quant aux projections de l'arc décrit par un point quelconque M de la surface, elles seront, d'après les formules (i5),
dx, dyy {^-\-py — qx)dv,
La normale à la surface sera dans le plan de la courbe, et ce plan roulera sur une certaine surface développable.
On reconnaît les surfaces étudiées par Monge d'une manière détaillée (2).
Les lignes de courbure de l'un des systèmes sont les diverses
(*) S. Lie, Beitràge zur Théorie der Minimalflàchen {Mathematische Annalen, t. XIV, p. 332-337).
(•) Mo:<GE, Application de l'Analyse à la Géométrie, 5" édition, p. 322. De la turface courbe dont toutes les normales sont tangentes à une même sur/ace développable quelconque.
positions de la courbe mobile; celles du second système sont les trajectoires des différents points de celte courbe.
86. Considérons, en particulier, le cas où le plan de la courbe mobile roule sur un cylindre. On obtient alors une surface moulure. Si nous supposons que l'axe des x du trièdre mobile ait été pris parallèle aux génératrices du cylindre, la rotation du système se fera autour d'une parallèle à Taxe des .r, et Ton aura
L'élément linéaire donné par la formule (32) prendra la forme
ou, en changeant les notations,
(33) rf5»=rfa«-T-(U— V)îrft'»,
U et V désignant des fonctions qui dépendent respectivement de u et de V-
On peut donner des surfaces moulures une autre définition, à quelques égards plus simple que la précédente.
Quand le plan de la courbe (C) roule sur le cylindre, les trajectoires de ses différents points sont évidemment des courbes planes dont le plan est parallèle à la section droite du cylindre, et, de plus, ces trajectoires sont à chaque instant normales au plan de la courbe (C). Il est évident, d'après cela, que leurs projections sur le plan de la section droite du cylindre constitueront une famille de courbes planes parallèles admettant pour développée commune la section droite du cylindre. De là résulte la génération suivante des surfaces moulures :
On donne dans un plan une famille de courbes parallèles. Si Von imprime à chacune de ces courbes une t translation finie y normale au plan et variant suivant une loi donnée, quand on passe d\ine courbe à Vautre, les positions nouvelles de toutes ces courbes forment la surface moulure.
87. En s'appuyant sur cette définition, on peut montrer que la
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forme (33) de rélémenl linéaire convient toujours à une infinité de surfaces moulures.
En effet, écrivons l'expression de ds^ sous la forme ds^ = d\]^ -h (U — V)2rfpï 4- ( I — U'»)t/a».
Les deux premiers termes pris isolément constituent l'élément linéaire d'une surface développable, et nous avons vu (n**70) qu'en posant
( ar = U cosp -+- /V siiiv dv,
(^ = Usinv> — f\ cosv dv,
on aurait
dx^ -f- dy^ = rfU«-h (U — V)» dvK
La surface définie par les formules (34 )> jointes à la suivante
(34/ ^-//i-U'rfff,
aura donc l'élément linéaire exprimé par la formule (33).
Si l'on remarque que cet élément linéaire ne cliange pas de forme quand on y remplace v par at*, on reconnaft la possibilité d'introduire une constante arbitraire dans les formules précédentes et l'on trouve, en recommençant le calcul,
X = alJ cos — h / V sin — di\
^^^^ W = aUsin /Vcos-rfr,
z = Jy/x — a* U'* du.
Ces formules définissent une famille de surfaces moulures, toutes applicables les unes sur les autres (*).
88. La méthode cinématique que nous venons d'appliquer à de nombreux exemples s'étend au cas où l'on considère une courbe qui varie de forme en même temps qu'elle est entraînée dans le mouvement des axes mobiles. Il suffira en effet, dans les formules
(') BoL'R, Théorie de la déformation des surfaces {Journal de l'École Polytechnique, XXXIV Cahier, p. 89).
loG LIVRE I. — CHAP. IX.
(i5) qui donnent les projections du déplacement sur les axes mobiles, de regarder x^ >', c, non plus comme des fonctions de la seule variable w, mais comme des fonctions de u et de v.
Proposons-nous, par exemple, d'appliquer cette méthode aux surfaces engendrées par le mouvement d'un cercle. Le plan de ce cercle enveloppera une surface développable. Étudions le mouvement du trièdre formé par la tangente, la normale principale et la binormale en un point de Tarête de rebroussement de cette développable. En prenant comme variable indépendante l'arc de la courbe, on aura ici (n'^i)
p et T étant les deux rayons de courbure et de torsion de la courbe. Les projections du déplacement d'un point dont les coordonnées sont x^y^ -3, relativement aux axes mobiles, auront pour expressions
dx-\-{\ — rf)dv,
dy -4- {rx — pz) dvj
(' désignant l'arc de l'arête de rebroussement.
Le cercle qui engendre la surface se trouvant dans le plan des xy^f on peut exprimer les coordonnées d'un de ses points par les formules
a? = a -+- R coscp,
y — b -■- R sinîp, -c ^^ o,
où a, 6, R sont des fonctions de r, et où ç est la variable qui détermine un point sur chaque cercle. En substituant ces valeurs de Xj y^ z, on aura, pour les projections du déplacement,
— R siiuprfo -4- (a' -4- I — br-^R' coso — rR sinr^)dv, R coso d^ -h {b' -\- ra -+- R' sin^p -r- rR coscp) rfr,
(y? 6 -h /) R sin cp ) r/r,
et la somme des carrés de ces projections donnera l'élément li-
