SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES. IO

néaire de la surface sous la forme ( * )

ds^— R' rfcp*-f- t2R[rR -h {b'-h ra) coso — {a' — br -^ ])sin'^] do dv -+- [{pb -1-/>R siiio)*-f-(a'-i- I — br -h W cos^ — rR sino)*

-\- (b' -h ra -H R' sin çp -I- r R cos ?p )* ] dv^.

89. En terminant ce Chapitre, où nous avons étudié surtout des surfaces jouissant de propriétés cinématiques, nous allons donner la définition d'une classe de surfaces se rapprochant à ce point de vue des précédentes, et qui ontd'abord été étudiées par M. Maurice Lévy {').

Considérons un système qui se déplace, mais qui varie en même temps de grandeur en restant semblable à lui-même, et proposonsnous de chercher la loi des vitesses de tous ses points à un instant quelconque. Soient Pq, P| deux positions infiniment voisines. Construisons la figure P^ homothétique à P«, en prenant Torigine des coordonnées pour centre d'homothétie, le rapport d'homotbétie étant tel que P', soit égal à Pq. On peut passer de Pq à P« i" par un déplacement infiniment petit qui amène Pq en P'^, a" par une transformation homothétique ayant l'origine pour centre d'homothétie et transformant P'^ en P«. Il suit de là que les vitesses de tous les points du système sont les résultantes de celles qui se produiraient dans le déplacement et de celles qui sont dues à la transformation homothétique. Les premières ont des expressions bien connues

Quant à celles qui sont dues à la- transformation homothétique, comme elles ont pour effet de réduire les coordonnées dans le même rapport, elles ont pour expression

hx, hy, hz.

En résumé, les composantes des vitesses d'un point du système

(*) Les surfaces à génératrice circulaire ont été étudiées récemment par M. Demartres {Annales de l'École Normale, 3» série, t. II, p. i23).

(*) Maurice Lévy, Sur le développement des surfaces dont Vêlement linéaire est exprimable par une fonction homogène {Comptes rendus^ t. LWXVII, p. 788).

dans le mou veinent considéré auront pour valeurs

\y = 3 -+- hy H- rx —pz,

Si nous désignons par k le rapport de similitude du système mobile pris dans sa position actuelle au même système pris dans une position déterminée, on aura évidemment

/Q \ \ dk

Tant que ce paramètre It n'est pas nul, c'est-à-dire tant que le système varie de grandeur, on peut transporter l'origine des coordonnées en un point tel que les termes a, p, y disparaissent des formules (36). L'interprétation de ces formules met alors en évidence le résultat suivant : les vitesses sont les mêmes que si le corps tournait autour d'une droite et éprouvait en même temps une transformation homothétiquc par rapport à un point de cette droite. Si Ton choisit pour nouvel axe des z cet axe de rotation, les formules (36) se simplifient et se réduisent à la forme suivante

; W = hr — ry, (38) I \y^hy •\-rx,

f V. =hz.

90. r^tudions le cas où Taxe de rotation et le centre d'homothélie demeurent fixes dans toute la suite du mouvement, les paramètres Il et r restant constants. Alors les positions successives d'un point déterminé du système mobile seront définies par les équations différentielles

dr dy dz .

■^ = hT-ry, -=hy-^rr, -J,=hz,

On aura donc, en intégrant,

Iz -= z^ef^i, X — r^e'^^ cos(a)o-i- ri), y = /'o e'*' sin ( coo ^- rt ).

Cliacjue point du système décrira une courbe tracée sur un