SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉM ATIQL'ES. IO

cône de révolulion

V^^'-^-r^ = consl.

ayant pour sommet Torigine et pour axe Taxe de rotation; la projection de la trajectoire sur le plan des xy sera une spirale logarithmique ayant pour pôle l'origine des coordonnées. Si Ton considère la spirale gauche décrite par le point comme appartenant au système mobile et variant de grandeur avec lui, elle glissera sur elle-même pendant toute la durée du mouvement, absolument comme les hélices décrites par les différents points d'un système invariable dans le mouvement hélicoïdal.

Par suite, les surfaces qui admettent pour génératrices les courbes déflnies par les formules (39) sont évidemment les analogues, dans la théorie qui nous occupe, des surfaces hélicoïdales et des surfaces de révolution.

Prenons pour Tq, Wq, 5© ^^s fonctions quelconques d'un paramètre 8. Les formules (Sg), qui donnent les expressions de x, >', z en ibnction de t et de 6, définiront la surface que nous nous proposons d'étudier. Cherchons son élément linéaire, nous trouverons un résultat de la forme

( io) ds^= e2'"(A dt^-^ 9.B dt rfÔ -i- G e/ô«),

où A, B, G sont des fonctions de 6 définies par les équations

(40 j B = A^-oXîo -^/i/-o/''o -^r/-Jw'y,

( G = ,-5 toi» -- y„» + r;v

Nous allons transformer cette expression de l'élément linéaire. Posons

^/ -f- ^ ^/O = \ dv,