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ce qui donne, en intégrant.

L'élément linéaire deviendra

^5«=eî»'(AVi'î-i-G'^*),

A' et G étant encore des fonctions de 6. Enfin, substituons à 0 la

MO LIVRE I. — CIIAP. IX. — SURFACES DEFIMES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES.

variable a délînie par la relation

A' deviendra une fonction U^ de //, et nous aurons pour la forme définitive de Télément linéaire

(42) ds^r^ e^^{du^-^\j^di^^).

Nous appellerons sur/aces spirales les surfaces que nous venons de définir. Elles se rapprochent de la spirale logarithmique par une propriété essentielle et qui résulte de leur définition : comme cette courbe, elles peuvent être agrandies dans un rapport quelconque sans cesser d'être superposables à elles-mêmes.

M. Maurice Lévy a montré que le théorème de Bour s'étend à ces surfaces, qu'il j^ en a une infinité admettant le même élément linéaire et, par conséquent, applicables les unes sur les autres. On établit cette proposition par un calcul que nous omettons, parce qu'il oflre la plus grande analogie avec celui que nous avons développé dans le cas des hélicoïdes.