SYSTÈMES CONJUGUÉS

Proposition de M. Kœnigs relative à la détermination, sans aucune intégration, d'une inOnitc de systèmes conjugués sur toute surface. — Application à la détermination des surfaces admettant un système de lignes de courbure planes dont les plans passent par une droite. — Trajectoires orthogonales d'une famille de cercles. — Caractère projectif et dualistique de la défînition des systèmes conjugués. — Liaison entre tout système conjugué et une équation linéaire aux dérivées partielles. — Surfaces sur lesquelles il existe un système conjugué formé de deux familles de courbes planes.

91. Dans les différentes surfaces que nous avons étudiées précédemment, nous avons rencontré et employé des systèmes de coordonnées curvilignes très variés : les uns simplement orthogonaux, d'autres à la fois orthogonaux et isométriques, d'autres enfin formés de lignes conjuguées. Il est évident que, sur toute surface, il existe une infinité de systèmes orthogonaux ou de systèmes conjugués ; car, si Ton trace sur une surface une famille quelconque de courbes, leurs trajectoires orthogonales ou leurs trajectoires conjuguées seront définies par ime équation différentielle du premier ordre et du premier degré, dont l'intégrale existe, bien qu'il ne soit pas toujours possible de la déterminer. On ne connaît aucune méthode qui permette de construire, sans aucune intégration, un système orthogonal sur une surface quelconque. Au contraire, la belle proposition suivante, due à M. Kœnigs, établit que, quelle que soit la surface considérée, il sera possible.

sans efleclucr aucune intégralion, d'y tracer un nombre îllîmi té de systèmes conjugues.

Soit (I) la surface donnée. Prenons une droite quelconque D dans l'espace. Les sections de la surface, déterminées par tous les plans qui contiennent la droite D, admettront pour lignes conjuguées les courbes de contact des cônes circonscrits à la sur/ace, ayant leurs sommets sur cette droite.

En effet, si M est un point de la surface, le plan tangent en M ira couper la droite D en un point A. Le cône circonscrit de sommet A admettra pour gén«'ratrice MA, et cette droile, qui est évidemment la conjuguée de la tangente en M à la courbe de contact du cône, est aussi la tangente en M à la section plane de la surface déterminée par la droite D et le point M. La proposition est donc démontrée.

9î2. Pour en donner dès à présent une application, proposonsnous de déterminer les surfaces pour lesquelles les lignes de courbure de l'un des systèmes sont dans des j)lans qui passent tous par une droite D.

Il résulte de la proposition précédente que les courbes de contact des cônes circonscrits ayant leurs sommets sur la droite D seront nécessairement les lignes de seconde courbure; et, comme ces lignes devront être orthogonales aux premières, chacune d'elles devra couper à angle droit les génératrices du cône dont elle est la courbe de contact. Par conséquent, les lignes de seconde courbure seront sphéri(|ues^ les sphères qui les contiendront auront leurs centres sur la droite D, et elles seront coupées à angle droit par les lignes de première courbure.

Réciproquement, prenons une famille quelconque de sphères (S) ayant leurs centres sur la droite D. Leurs trajectoires orthogonales seront évidemment des courbes planes, puisque les tangentes à ces trajectoires vont passer par le centre d'une des sphères et rencontrent nécessairement la droite D. Si l'on prend une surface quelconque engendrée par ces trajectoires orthogonales, elle sera une des surfaces cherchées. En effet, soient (f). (/'), (/"), . . . une suite de trajectoires et M, M', AF, . . . les points où elles coupent à angle droit une même sphère (S). Les tangentes aux trajectoires en M, M', M'', . . . iront évidemment concourir

SYSTÈMES CONJUGUÉS. Il3

au centre de la sphère (S) et elles engendreront un cône, circonscrit suivant la courbe sphérique MM'M"..., à la surface formée par les trajectoires (/), (^'), (^"),. . .. Les deux systèmes de lignes conjuguées défînies par le théorème de M. Kœnigs se couperont ici à angle droit et seront, par conséquent, les deux systèmes de lignes de courbure.

De là résulte une méthode très simple pour engendrer les surfaces cherchées. Considérons une famille quelconque de sphères ayant leur centre sur la droite D, et proposons-nous de déterminer leurs trajectoires orthogonales. Soit (t) une de ces trajectoires^ si on la fait tourner autour de D, de manière à ramener son plan dans un plan fixe, elle ne cessera pas d'être trajectoire orthogonale. Nous sommes donc ramenés à un problème de Géométrie plane : Trouver les trajectoires orthogonales dUine famille de cercles ayant leurs centres en ligne droite. Voici comment on peut le résoudre.

93. Considérons d'une manière générale une famille de cercles, définie par Téquation

où a, 6, r sont des fonctions d'un paramètre u. Les trajectoires orthogonales satisferont à l'équation

cLr __ dy

et, pour former leur équation difl'érentielle, il faudrait éliminer u entre les équations (i) et (2). Cette élimination est impossible en général; il vaut mieux employer la méthode suivante.

Exprimons x^ y en fonction de u et d'une nouvelle variable 6 par les formules

(3) a: = a-+- rcosO, j' = ÔH-rsin6.

La signification de 0 est évidente : 0 est l'angle que fait, avec

Taxe des a:, le rayon du cercle qui passe au point où ce cercle

est coupé par la trajectoire orthogonale. Des formules (3) on tire

les valeurs de dx et de dy^ et, en les portant dans l'équation (2),

Il4 LIVRE II.— GHAP. I.

on obtient pour Q l'équation

(4) -j- = — j- sinO -7- cosO.

du r du r du

qu'il faudra intégrer. Or, si l'on prend comme inconnue

(5) tang- = /,

on est ramené à une équation de Riccali . - ^ dt 7. da \ db ^

De là résultent plusieurs conséquences. Si l'on connaît une trajectoire seulement d'un système de cercles, on déterminera toutes les autres par deux quadratures; si l'on en connaît deux, il suffira d'une seule quadrature; et enfin la connaissance des trois trajectoires orthogonales permettra de déterminer toutes les autres, sans aucune intégration.

Supposons, d'après cela, que l'on veuille déterminer le système orthogonal le plus général dont une famille soit formée de cercles. On pourra se donner arbitrairement deux des trajectoires orthogonales (C), (C<). Il existe en effet une famille de cercles coupant deux courbes quelconques à angle droit, et leurs centres se trouvent sur la courbe (L) lieu des points d'où l'on peut mener à (C), (G|) des tangentes égales. Comme ou connaît deux trajectoires orthogonales, il suffira d'une quadrature pour obtenir toutes les autres. On pourra donc obtenir, avec une seule quadrature, l'équation du système orthogonal plan le plus général comprenant une famille de cercles (*).

(*) Dans sa thèse si remarquable, Étude géométrique des surfaces dont les lignes de courbure d'un système sont planes; Toulouse, 1882, M. V. Kouquet a inéuie montré que l'on peut obtenir, sans aucun signe de quadrature, l'équation de ce système orthogonal. Considérons, en effet, deux familles de cercles, correspondant respectivement aux systèmes de valeurs a,, b^, /\ et a,, ft^, r^ des variables a, 6, r. Si Ton a, pour chaque valeur de i<,

df, da, db^ db^

les équations de Riccati qui déterminent les trajectoires orthogonales de ces deux

SYSTEMES CONJUGUÉS. Ii5

Il y a néanmoins un cas particulier très étendu dans lequel la détermination du système orthogonal n^exigera plus aucune quadrature. C'est celui où Ton saurait a priori que, parmi les trajectoires orthogonales de la famille de cercles, doit se trouver une ligne droite ou un cercle (y); car alors tous les cercles cherchés étant doublement normaux à la ligne droite ou au cercle (y), cette trajectoire orthogonale particulière devra être comptée pour deux et donnera deux solutions de Téquation de Riccati. Il sudira donc de se donner (y) et une autre trajectoire orthogonale (C) pour avoir trois solutions de l'équation différentielle.

Signalons encore cette conséquence des raisonnements qui précèdent : lorsqu'on aura un système déterminé de cercles coupant

familles de cercles sont les mêmes; el, par conséquent, la connaissance des trajectoires orthogonales de l'une des familles entraîne celle des trajectoires orthogonales de l'autre famille. Nous dirons, avec M. Rouquet, que deux familles de cercles sont similaires lorsqu'elles satisfont aux relations (i). Il est aisé d'interpréter géométriquement ces relations. Elles expriment, en effet, que les centres des cercles, qui se correspondent dans les deux familles similaires, décrivent des courbes dont les tangentes sont, à chaque instant, parallèles; et de plus, que les rayons des deux cercles sont dans le même rapport que les arcs infîniment petits parcourus par leurs centres dans le même temps, c'est-à-dire dans le même rapport que les rayons de courbure des deux courbes décrites par leurs centres, aux points correspondants. Cette proposition permet évidemment de construire, sans aucune intégration^ toutes les familles similaires d'une famille de cercles donnée.

D'après cela, soit une famille quelconque de cercles, correspondant aux valeurs a,, ô,, /•, de a, b, r. On peut toujours concevoir qu'il existe trois fonctions a,, b^, r, telles que l'on ait

da da db db

!11L = 1111?, ^ïi^lfïi, a\-hb%=rl, r. r. . r. r. z i z

Par suite, toute famille de cercles peut être considérée comme similaire d'une famille représentée par l'équation

ix-a,y-^{y-b,y=al-hbl

pour laquelle tous les cercles passent par un point fîxe, -l'origine. Comme on peut mettre en évidence, sans signe de quadrature, les trajectoires orthogonales de cette famille particulière, il en sera de même, d'après les propositions précédentes, pour la famille la plus générale.

Au reste, dans beaucoup de questions, il importe peu qu'il y ait ou qu'il n'y ait pas de signe de quadrature. L'essentiel est qu'on puisse obtenir, sous forme explicite, l'équation du système orthogonal, et les développements donnés dans le texte établissent que cela sera toujours possible.

Il6 LIVRE II. — CHAI». I.

à angle droit un cercle donné, ou ayant leurs centres en ligne droite, la détermination de leurs trajectoires orthogonales exige seulement une quadrature.

A un autre point de vue, il résulte de l'équation (6) la consé-

quence suivanle; soient tang-> tang— > tang— > tang— quatre so-

lutions quelconques de cette équation. Nous savons que leur rapport anharmoniquc est constant. Or ce l'apport anharmonique des quatre tangentes est, par définition, le rapport anharmonique des points où les trajectoires correspondantes coupent l'un quelconque des cercles. On a donc le théorème suivant :

Le rapport anharmonique des quatre points où un cercle quelconque de la famille considérée est coupé par quatre trajectoires orthogonales fixes est constant.

Toutes ces propositions s'appliquent évidemment aux systèmes de cercles tracés sur la sphère, qui peuvent toujours, par une inversion, être transformés en systèmes situés dans un plan.

94. Revenons à la question proposée. Il s'agit de trouver le système orthogonal le plus général dont une des familles soit formée de cercles ayant leurs centres sur une droite D.

Pour cela on considérera une courbe quelconque (G) et l'on tracera tous les cercles normaux à (G), ayant leurs centres sur D. Les trajectoires orthogonales de ces cercles se détermineront sans aucune intégration. Gonsidérons en effet l'un quelconque de ces cercles normal en un point M à la courbe (G). Si 6© désigne l'angle de la tangente à la courbe en M avec la droite D, l'équation deRiccati admettra les trois solutions particulières

Oo, o, T.,

et, par conséquent, son intégrale générale sera donnée par la

formule

tang-

ou, plus simplement,

0 Oo

lanc: tans—

(7) lang- = Clang^,