SYSTÈMES CONJUGUÉS. TI

Les surfaces cherchées, qui ont d'abord été étudiées par Joachimsthal (^), admettent donc la génération suivante : Dans un plan passant par la droite D, on forme y diaprés le moyen que nous venons dHndiquer^ la famille de courbes planes {t) la plus générale admettant pour trajectoires orthogonales une famille de cercles avant leurs centres sur la droite D. On fait tourner ces courbes (^), autour de la droite D, d*un angle qui varie d'après une loi donnée, mais quelconque, quand on passe d^une courbe à l'autre; le lieu de toutes leurs positions nouvelles est la surface cherchée.

Prenons pour axe des x la droite D. Les formules qui sont la traduction analytique de la génération précédente sont les suivantes. Soit

l'équation du système de cercles. Prenons

a = F(eo), r= F(eo)sinOo, long? = F,(i}.) tang ^.

Les coordonnées d'un point quelconque de la surface cherchée seront

ix =L a -\- rcosO, ^ , j' = rsinO cosi}/,

( 5 = r sin6 siinj/.

Ces formules sont identiques à celles que Ton doit à Joachimsthal.

9o. Après avoir développé une application de la proposition de M. Kœnigs, revenons aux systèmes conjugués quelconques. Ces systèmes possèdent deux propriétés essentielles sur lesquelles il convient que nous insistions, et que Ton peut énoncer comme il suit : Tout système conjugué ne cesse pas d'être conjugué si l'on soumet la surf ace sur laquelle il est tracé, soit à une trans-

(*) JoAcmMSTHAL, Demonstratio/ies theorematum ad superficies curvas spectantium {Journal de Crelle, t. XXX, p. 347) et Sur les sur/aces dont les lignes de l'une des courbures sont planes (môme Journal, t. LIV, p. 181). Voir surtout ce deroier article.

Il8 LIVRE II. — CIIAP. I.

formation homo graphique, soit à une transformation par polaires réciproques.

Supposons d'abord que l'on soumette une surface (S) à une transformation homographique. Considérons une courbe (C) tracée sur (S). Les plans tangents à la surface en tous les points de cette courbe engendreront une surface développable (A) dont les génératrices rectilignes seront les conjuguées des tangentes à la courbe (C). Or il est évident que la transformation homographique ne change en rien toutes ces relations. A la surface (S) correspond une surface (S'), à la courbe (C) une courbe (C), à la développable (A) une développable (A') circonscrite à (S') suivant la courbe (C'), aux tangentes de la courbe (G) celles de la courbe (C), aux génératrices de (A) celles de (A'); par conséquent la transformation homographique fait bien correspondre à deux tangentes conjuguées de (S) deux tangentes conjuguées de (S'). Si, au contraire, on effectue une transformation par polaires réciproques, à la surface (S) correspond une surface (S"'), à la courbe (G) une développable (A'') circonscrite à (S"), et à la développable (A) la courbe de contact (G'') de la développable (A"). Par suite, aux tangentes de la courbe (G) correspondent les génératrices rectilignes de (A'') et aux génératrices de (A) les tangentes de la courbe (G''). D'ailleurs, à deux tangentes en un point M de (S), correspondent deux tangentes au point correspondant iF de (S''). Ici encore, on le voit, à deux droites conjuguées correspondent deux droites conjuguées.

96. Les propriétés précédentes, que l'on exprime encore en disant que la définition des systèmes conjugués est projective et dualistique, peuvent aussi être établies par la méthode analytique suivante qui nous permettra de généraliser une proposition déjà donnée (n° 84).

Soient a et P les paramètres de deux familles de courbes tracées sur une surface (S). Adoptons un système de coordonnées homogènes ou tétraédriques absolument quelconque, et soit

(lo) mX-+- v'Y-H wZ -h/>T = o

l'équation du plan tangent à la surface; Uy Vy sv^ p seront des

SYSTÈMES CONJUGUES. 1 19

fonctions des paramètres a et p, et l'on obtiendrait Téquation en coordonnées ponctuelles de la surface (S) en éliminant a et ^ entre l'équation (lo) et ses deux dérivées

[X— -hY— H-Z— -t-T^=o I ^ da â% âa ' dx '

l ^àii di> âiv dp

par rapport à a et à ^. Par conséquent, si l'on désigne par x, y^ Zj t les coordonnées du point de contact du plan tangent, elles devront satisfaire aux trois équations

ux -^ vy -{- ivz -\- pt =0,

du dv dw dp

Différentions la première de ces équations, successivement par rapport à a et à ^; on aura, en tenant compte des deux autres, les relations nouvelles

idx dy dz dt

Idx dy dz dt

On aurait pu d'ailleurs écrire immédiatement ces équations; elles expriment que les tangentes aux deux courbes a=const., ^ = const. sont dans le plan tangent à la surface.

Les équations (12) et (i 3) s'appliquent à tout système de coordonnées curvilignes. Cherchons maintenant la condition pour que les deux familles (a) et (p) forment un système conjugué. Si l'on se déplace sur la courbe a = const., le plan tangent enveloppera une surface dcveloppable; son intersection avec le plan tangent infiniment voisin sera définie par l'équation (10) jointe à la seconde des équations (11). Il faut exprimer que la droite représentée par ces deux équations est la tangente à la courbe P = const. Pour cela, il faudra écrire que ces équations sont vérifiées quand on y

120 LIVRE II. — ClIAP. I.

remplace X, Y, Z, T par

ôjr , ()y . ()z , àt ,

dx *^ ô% ()% dx

En tenant compte des formules déjà établies (12) et (i3), cela ne donne qu'une seule équation nouvelle

t)u f):r f)v Ov dw dz Op f)t

et cette unique équation exprime par conséquent la condition nécessaire et suflisante pour que les deux familles (a) et (^) forment un système conjugué.

Des formules (12) et (i3) on déduit par diOerentiation les identités suivantes applicables à tout système de coordonnées curvilignes :

dxô'p ' -^ 07. ô'p dx d'p i)x dp

__ du ùx dv dy div dz dp dt

^ du dx dv dy dw dz dp dt

'''^ Ti dx "^ d^ dx ~~ ~¥p dx ~' d^ dx

dxd'^ dx dp dxd} ^ dx 06

Il suit de là que Téquation (i4) peut encore être écrite sous Tune des trois formes suivantes :

du dx dv (h' div dz dp dt

di^ '^ JxVp '^ liiYp '^ &i'ô^ ~^'

La condition pour que les familles (a), (P) forment un système conjugué s'exprime indifféremment par l'une quelconque des quatre équations (i4) ou (16).

97. Considérons, en particulier, les équations (12) et la troisième des équations (16); elles ne contiennent pas les dérivées de a:, j'.

SrSTÈMES CONJUGUÉS. l'2I

z, l et rélimination de ces coordonnées conduit à Téquation

ôw

qui ne contient plus que les coordonnées tangentielles (*).

Inversement, toutes les fois que l'équation (17) sera satisfaite, il existera des valeurs de x^ j>', 5, t vérifiant les équations (12) et la troisième des équations (16); ces équations expriment que x^ y y Zj t sont les coordonnées du point de contact du plan défini par Téquation (10) avec la surface qu'il enveloppe et, en outre, que les deux familles (a), (P) tracées sur cette enveloppe sont conjuguées. L'équation (17) est donc, dans tous les cas, caractéristique des svstèmes conjugués.

De même, en éliminant a, i', iv, p entre la première des équations (12), les deux équations (i3) et la seconde équation (16), on trouvera la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées ponctuelles

ùx

àv

ôx

du did'i

et l'on démontrera comme précédemment que cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante.

(*) Brioscoi, Sulle linee di curvatura délia superficie délie onde {Annales de Tortolini, t. II, p. i35; 1859).

122 LIVRE II. — GHAP. I.

98. En répétant le raisonnement déjà donné au n^ 84, on obtiendra immédiatement la proposition suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux familles de courbes, de paramètres a et p, soient conjuguées, est que, soit les coordonnées ponctuelles homogènes, soit les coordonnées tangentielles, satisfassent toutes les quatre à une équation aux dérii^ées partielles de la forme

où A, B, C désignent des fonctions quelconques de ol et de^ {*).

La transformation homographique ne changeant pas les coordonnées homogènes, pourvu que Ton fasse varier le tétraèdre et les paramètres de référence, et la transformation par polaires réciproques étant équivalente à un échange des coordonnées ponctuelles et des coordonnées tangentielles, on voit que la méthode précédente met bien en évidence le caractère projectif et dualistique de la définition des systèmes conjugués.

Si Ton emploie les coordonnées cartésiennes ordinaires, la coordonnée t devra être égalée à l'unité; par suite l'équation (19) devra être vérifiée par la valeur 0 = i . On devra avoir

et l'on retrouvera le résultat du n° 84.

99. En terminant ces développements, je remarquerai qu'il est impossible de trouver deux équations de la forme (19) auxquelles satisferont en même temps les quatre coordonnées ponctuelles, tant que la surface ne se réduira pas à une courbe, ou les quatre coordonnées tangentielles, tant que la surface ne sera pas développable.

En eflct, supposons que les quatre coordonnées vérifient deux

C) Il est utile de remarquer que Téqualion linéaire à laquelle satisfont les quatre coordonnées ponctuelles n'est pas, en général, la même que celle à laquelle satisfont les quatre coordonnées tangentielles.

STSTfiHKS CONJUGUÉS. 1^3

équations linéaires de la forme (19). L'élimination de -t—t^ entre

ces deux équations nous conduira à une équation du premier ordre

à laquelle devront encore satisfaire ces coordonnées. Or la solution générale de cette équation est de la forme

F désignant une fonction arbitraire et Ooi ^0 des fonctions déterminées ; par conséquent, si l'on divise toutes les coordonnées homogènes par Ooî on les réduira à des fonctions de la seule variable 0*0 . Si les coordonnées sont ponctuelles, le point décrit une courbe, et si elles sont tangentielles, le plan enveloppe une développable. Ainsi, à toute surface non développable, et à tout système conjugué tracé sur celle surface, correspondent deux équations, et deux seulement, de la forme (19). L'une est vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de la surface, et l'autre par les coordonnées d'un plan tangent quelconque de la surface.

100. Le théorème précédent permet évidemment de construire une infinité de surfaces sur lesquelles on connaîtra des systèmes conjugués (*). Nous allons, dès à présent, en faire une application en cherchant les surfaces pour lesquelles il existe deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes planes.

Si les coordonnées tangentielles satisfont à l'équation

ÔOLâ^

la surface correspondante la plus générale sera l'enveloppe du plan défini par l'équation

(') Dardocx, Afémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux {Annales de l'École Normale, 2* série, t. VII, p. 298; 1878).

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Or on reconnaît sans difficulté que cette surface jouit de la propriété indiquée; car, pour avoir Tenveloppe du plan langent, il faut joindre à l'équation (ao) les deux suivantes

qui ne contiennent chacune qu'une seule des variables a, ^ et montrent ainsi que les deux familles conjuguées a=:const., j3 = const. sont composées de courbes planes.

La solution que nous venons d'obtenir est très générale ; on peut démontrer qu'il n'y en a pas d'autre. Pour cela, nous définirons la surface cherchée comme enveloppe du plan

(27.) u\ -h v\ -^ wZ -r-pT = o.

Prenons la dérivée de cette équation par rapport à a, nous aurons

OOL ôx ox 0%

Ces deux équations représentent, on l'a vu, la tangente à la courbe a = const., toutes les fois que les deux familles (a), (p) sont conjuguées.

Or, si les courbes de paramètre a sont planes, elles seront déterminées par une équation de la forme

et, par conséquent, les trois plans définis par les équations (22), (28), (24) contiendront une même droite, la tangente à la courbe a = const. ; Tune de ces trois équations devra donc être une combinaison linéaire des deux autres. Ecrivons que la troisième s'obtient en ajoutant les deux autres, respectivemcnl multipliées par [JL et par \\ nous aurons le système

/i(aj= jaM-+-X— , /,(a)= [iv -^'^-i^'

/3(3t)= IIW -hl—,