SYSTÈMES CONJUGUÉS

En éliminant par une différentiation les fonctions /i (a), ... on verra que w, v^ <v, p doivent satisfaire à la même équation du second ordre

c'est-à-dire

En considérant de même les courbes |3 = const., on trouverait que les coordonnées tangentielles doivent aussi satisfaire à l'équation semblable

' 0x0 fi ^ 0% 0% Oi Ox

Or nous avons vu que //, v^ iv, p ne peuvent satisfaire en même temps à deux équations de la forme précédente, au moins tant que la surface n'est pas développable. Il faudra donc que les équations (si5), ('^G) soient identiques; ce qui donne les conditions

V ~ 'o'p~ ' A ~ ~ô~%~ ' \Y^~~ Vli'

En portant les valeurs de jjl et de jx' dans la dernière équation, nous trouvons

~ô%ôf ~ OxOf *

d'où l'on déduit, en intégrant,

ce qui donne

r)X . /'(a) jx = -7 »- A

Si nous portons cette valeur de [x dans l'équation ( 25 ), elle prend la forme

On voit que, si nous multiplions les quatre coordonnées u^ (', iv, p par une même fonction )w/(a), ce qui est évidemment permis,

elles satisferont à Téquation

et l'on retrouve la solution que nous avons donnée a priori.

Il est vrai que nous avons écarté de notre raisonnement l'hypothèse où la surface serait développable. Mais, pour obtenir une telle surface, il suffira de supposer nulles, dans la formule (ao), toutes les fonctions de p. Ainsi notre première solution donne, sans aucune exception, toutes les surfaces pour lesquelles il peut exister un système conjugué composé de deux familles de courbes planes.

101. Il nous reste à indiquer un mode de génération simple des surfaces que nous venons d'obtenir. Pour cela, faisant ^= i, nous envisagerons les deux familles de sphères définies par les équations

(-27) a?î-i-7«-f-^«— 2/i(a)j7— 2/2 ( a)^ — 2/3(2)^ — 2A(a) =0, (28) a^^-4-7^-^^^-t-2ç,(^)a^-f-2ç>î(p)7-^-2cp3(P)^-^-2<p4(^) = o.

Ces deux familles de sphères sont absolument quelconques, et d'ailleurs leur plan radical est précisément le plan tangent de la surface cherchée, représenté par l'équation (20). Nous sommes donc conduits au théorème suivant :

Si Von considère dans l'espace deux familles de sphères définies de la manière la plus générale, le plan radical d^une des sphères de la première famille et d'une des sphères de la seconde enveloppera la surface la plus générale admettant deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes planes.

Pour déterminer la surface par points, on remarque que les deux équations (21) sont les dérivées par rapport à a et à ^ des équations (27), (28). Donc :

Si Von associe à deux sphères de famille différente les sphères infiniment voisines, le centre radical de ces quatre sphères décrira la surface cherchée. Le plan radical de deux sphères infiniment voisines de la même famille contiendra une des courbes de Vun des systèmes conjugués.