SYSTEMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASYMPTOTIQUES

Application des propositions précédentes à la détermination des surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes. — Caractéristiques d'une équation linéaire aux dérivées partielles. — Théorème nouveau relatif aux systèmes conjugués. — Lignes asymptoliques. — Forme la plus simple de leur équation différentielle. — Leur détermination dans des cas particuliers. — Surfaces tétraédrales de Lamé.

102. La proposition obtenue à la fin du Chapitre précédent conduit à une méthode très simple pour la détermination des surfaces dont les lignes de courbure sont planes dans les deux systèmes. Il suffira, en eflet, de chercher, parmi les surfaces enveloppes du plan représenté par l'équation (20), celles pour lesquelles les deux familles de courbes conjuguées se coupent à angle droit.

Considérons la surface enveloppe du plan

mX -h- v\ -+- wZ -r-pT = o,

où £/, V, iv, p sont des fonctions de a et de p. La condition d'orthogonalité des courbes de paramètre a et p tracées sur l'enveloppe est compliquée en général, et contient les dérivées secondes des coordonnées langentielles. Mais elle se simplifie beaucoup quand a et p sont les paramètres de deux familles conjuguées. En effet, si Xj y^ z, t sont les coordonnées du point de contact et si Ton fait f = I , on a les deux équations

d.r dv dz

"d-a^ 'tr -^ '"Ta ="■

du d.r ôv ôv ôw f)z

d'où l'on déduit les proportions

âx dy dz ôw dv du dw dç du

' doL doL doL d^ €^3 dp d'i di d^

128 LIVRE II. — CnAP. II.

On a des formules analogues pour-^> -jq> ~ et, en écrivant la condition d'orthogonalité, on trouve l'équation (*)

/ / du ()v ()w \ ( du ôç dw \

\ \ 0% 0% Ox )\ ô^ dfi (>3 /

ï , ^ . ^^1 àa du dv dv dw d{v\

rx)

Remarquons toutefois que cette équation serait illusoires! w, p, iv, p ne contenaient pas jS, car alors les formules (i) n'auraient aucune signification; la surface serait développable.

Pour appliquer l'équation (2) au problème qui nous occupe, il i'aut faire

A|, A2, A3 désignant des fonctions de a et B|, B2, B3 des fonctions de ^. On reconnaît que l'équation (2) peut être ramenée à ne contenir que les dérivées de la fonction h définie par Téquation

En effet, cette équation diflérentiée par rapport à a et à ^ donne successivement

, dh du dv div

/i -— = M - - -+-!?- r il' -7- >

c/a dx Ox dx

. dh du dv dw

'' ô^ = "" à'} -^ ' IF^ -^ '" Wy

d*h dh dh __ du du dv dv dw dw ' dxd^ '^ Tx^ ~ dx d'^'^ôid^'^Uxl)^'

En tenant compte de ces relations, l'équation (a) prend la forme

d^h __ dx d^ ■" ^'

et il faut, pour qu'elle soit satisfaite, que l'on ait

h= A4 -H Bi.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Pour obtenir les surfaces à lignes de courbure planes dans

(') Bbioscbi, Annales de TortoUni, t. II, p. i35; iSSg.

SYSTÈMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASTllPTOTIQUES. 12g

tes deux systèmes, on commencera par déterminer les /onctions de oi et de ^ satisfaisant identiquement à l'équation

(3) (A,-f- B,)«-+- (A,-^ B,)'-T- (Aa-^- 63)»= (A*-+- B.,)\

Quand ces fonctions seront connues^ la surface sera Venveloppe du plan représenté par V équation

où A, B désignent deux fonctions nouvelles qui dépendent respectivement de CL et de ^. Les lignes de courbure des deux systèmes seront définies par les équations

^ \ B> -r- B'jj -+- B'3 ;5 = B',

qui ne contiennent chacune qu'une seule des variables a ou p et représentent les plans de ces lignes,

103. Toute la difficulté du problème est ramenée, par la méthode précédente, à la détermination des fonctions les plus générales satisfaisant identiquement à la relation (3). Or, si Ton diflférentie celte équation successivement par rapport à a et à ^, on est ramené à Téquation plus simple

dont M. J.-A. Serret a donné toutes les solutions possibles dans son important Mémoire Sur les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques [Journal de Liouville, i"^ série, t. XVIII, p. ii6). Au lieu de suivre la marche adoptée par M. Serret, nous nous attacherons à Téquation (3) que nous écrirons sous la forme

en changeant le signe de toutes les fonctions B.

Cette équation peut être interprétée géométriquement de la manière suivante. Considérons la sphère (S), variable et dépendante du paramètre a, dont le centre a pour coordonnées A| , A2, A3 et dont le rayon est égal, en grandeur et en signe, à A»; considérons de même la sphère (S'), dépendante du paramètre [3, D. — r. 9

l30 LIVRE II. — CIIAP. II.

dont le centre a pour coordonnées B|, Bo, B3 et dont le rayon est égal à B|. L'équation (7) exprime évidemment que les deux sphères (S) et (S') sont constamment tangentes. 11 faut donc que ces deux sphères, envisagées successivement, enveloppent la même surface (S). Et, comme cette surface (S) est touchée suivant un cercle par chacune des sphères (S), aussi bien que par chacune des sphères (S'), il faut que toutes ses lignes de courbure soient circulaires.

Nous sommes ainsi ramenés à un problème bien connu, qui a été proposé et résolu pour la première fois par Dupin (*) : Déterminer toutes les surfaces dont les lignes de courbure sont circulaires, La solution fournit une surface du quatrième ordre, la cyclide de Dupin, dont les normales rencontrent une ellipse et une hyperbole, qui sont les focales Tune de l'autre et qui contiennent les centres de toutes les sphères, tangentes à la surface suivant une de ses lignes de courbure. Cette surface peut dégénérer soit en un tore, cl alors l'ellipse focale se réduit à un cercle, soit en une surface de troisième degré, et, dans ce cas, les deux courbes focales deviennent des paraboles.

104. Si l'on suppose que l'ellipse se réduise à un cercle, l'hyperbole se réduira à une droite passant par le centre du cercle et perpendiculaire à son plan. En choisissant le centre du cercle pour origine des coordonnées et la droite pour axe des .3, nous obtenons une première soluticm de l'équation (n) donnée par les formules suivantes :

Al — o, Aj^ o, A3= a,

Bi — cosp, Bj-- sinp, B3=o.

La surface à lignes de courbure planes correspondante est l'enveloppe du plan

(8) as-a-cosp— jsin?=/(a)-T-©(p).

Les lignes de courbure a z^-^ const. sont dans des plans parallèles

( ' ) Dl'pi.n, Applications de Géométrie et de Méchanique, p. 200 et suiv.; 1822.

SYSTÈMES CONJUGUES. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. l3l

et, par conséquent, cette première classe ne comprend que les surfaces moulures déjà étudiées (n** 86).

Passons au cas général où l'une des focales est une ellipse. Comme on peut multiplier toutes les fonctions A/, B/ par un même nombre, on pourra prendre, pour cette focale, les équations

et l'hyperbole correspondante sera alors représentée par le système

Un point de la première courbe sera défini par les formules

et, de même, un point de la seconde par les formules analogues

(10) ar=Bi = o, j=Dî=p, z = B3= y/X^ — iv/i-i-[^«.

La surface à lignes de courbure planes, correspondante à ces valeurs des fonctions A/, B/, sera Tenveloppe du plan

lorsque a et j3 varieront.

On trouvera de même, dans le cas où Tellipse se réduit à une parabole, que la surface correspondante est Tenveloppe du plan

(12) .ia:r-T-2P7-i-(i~-a»-3*);;=/(a)-hcp(3). '

lOj. En rrsumé, nous obtenons trois classes de surfaces à lignes <le courbure planes dans les deux systèmes. Mais il résulte clairement des raisonnements précédents que la première et la troisième peuvent être considérées comme des cas limites de la seconde, qui est définie par la formule (ii). Nous allons faire connaître un nouveau mode de génération de ces surfaces.

Si l'on difTérentie successivement par rapport à a et à ^ l'équation (i i), on obtient les deux équations

("3) a;--}li^--/'(^).

l3a LIVRE II. — CIIAP. II.

qui représentent, nous l'avons vu, les plans des lignes de première et de seconde courbure. Ainsi les lignes de courbure de chaque système sont dans les plans tangents d'un cylindre, et les cylindres correspondants aux deux systèmes ont leurs génératrices perpendiculaires.

D'autre part, les deux familles de sphères considérées au n** 101 ont ici pour équations

les centres de ces sphères sont situés respectivement sur les deux focales. D'ailleurs leurs rayons dépendent des fonctions /(a), C3(p) et varient, par conséquent, suivant une loi quelconque. En appliquant le théorème du n** 101, on sera donc conduit à la proposition suivante :

Pour obtenir toutes les surfaces à lignes de courbure planes clans les deux systèmes, on construira deux familles différentes de sphères dont les centres seront assujettis à décrire respectiiement deux courbes du second degré y focales l'une de l'autre, et dont les rayons varieront suivant une loi quelconque pour chacune des deux familles. Le plan radical de deux sphères (S), (S), appartenant aux deux familles différentes, cm^eloppera la surface cherchée. Si l'on associe à (S) et à {S) les sphères infiniment voisines (S'), (S'), le centre radical de ces quatre sphères décrira la surface; les plans radicaux de (S) et de (S'), de (S) et de (S') seront les plans des lignes de courhure des deux systèmes ( * ).

Bien que nos raisonnements aient laissé de côté le cas des surfaces développables, les résultats obtenus comprennent ces surfaces qui sont, on le reconnaîtra aisément, des surfaces moulures formées |>ar les tangentes d'une hélice tracée sur un cylindre quelconque.

(') On peut définir la variation du rayon des sphères de chacune des familles on assujettissant ces sphères à être tangentes à une courbe choisie arbitrairement, située <lans le plan de la ligne qui contient leurs centres. Alors on pourra construire géométriquement le plan radical de chaque sphère et de la sphère infmimcnt voisine.

SYSTÈMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. i33

106. Nous terminerons celle élude préliminaire des syslèmes conjugués en généralisant la proposition donnée au n** 98, cl, pour le faire d'une manière précise, nous commencerons par rappeler la définition des caractéristiques d'une équation linéaire aux dérivées partielles.

Soit

une telle équation, où les coefficients seront des fonctions données quelconques de a et de p. Si Ton substitue à ces variables indépendantes les suivantes :

Téquation conservera sa forme et deviendra

a ■-■ -f- b -—. 1- c 3-r -ha' — H- £»' -7 h c 0 = 0,

op^ dp opi opl dp opi

a, 6, c ayant les valeurs suivantes :

Si donc on veut faire disparaître les deux termes en ^-jy y-^y

p et Pi devront être deux fonctions différentes satisfaisant à l'équation

On peut énoncer ce résultat de la manière suivante :

Considérons l'équation différentielle du premier ordre et du second degré

(19) A e/p*— B e/at/p -H C di> = o,

ù laquelle nous donnerons le nom ^'équation différentielle des caractéristiques, et qui se décompose en deux équations

l34 LIVRE II. — CHAP. II.

du premier degré admettant chacune une intégrale. Soient

p = cp(a, p), p, = tKa, p)

les deux intégrales ainsi obtenues; il faudra prendre p, pi pour nouvelles variables si Von veut ramener V équation en ^ à la forme

dpO^i dp Opi

On voit que la transfonnalion serait impossible si le premier membre de féqualion (19) était un carré parfait. Mais il résulte des formules (fj) que si Ton prend alors pour p l'intégrale unique de Féquation (19), l'équation en 0 se réduit à la forme simple (')

(ai) — ^ -f-a' — -t- 6'- h c 0 = o.

dpi dp dpi

107. Après avoir rappelé ces définitions et ces propriétés, revenons aux questions que nous avons en vue, et supposons que les quatre coordonnées homogènes x, y, z^ t ou w, v, (v, p soient

C) Od peut même simplifier encore cette équalion dès que l'on en connaît des solutions particulières; car soient 9,, 9, deux de ces solutions : si l'on pren<i comme nouvelles variables indépendantes p et le rapport

et si l'on pose

la fonction 9 satisfera à une équation de même forme que l'équation (21)

YTT -■' «, -r -f- à. -5-7- -4- c, (T — o. 00 jS ' dp * dp\ '

Mais, comme cette équalion doit admettre les solutions particulières