I, cr- pj

6, et c^ seront nuls, et elle se réduira à la forme binôme

t)pi* 'dp

Le raisonnement précédent montre d'ailleurs que cette forme n'est pas typique et peut être obtenue d'une infinité de manièrcf:.

SYSTÈMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASTMPTOTIQUES. l35

exprimées en fonction de deux variables a et p. Si l'on a obtenu, par un procédé quelconque, une équation de la forme (i6) à laquelle satisfont ces quatre coordonnées, on peut la ramener, par le procédé que nous avons indiqué, à la forme (20) et Ton reconnaît alors immédiatement que les courbes (p), (pi) tracent sur la surface un système conjugué. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Quand on a formé, d'une manière quelconque^ une équation de la forme (16) à laquelle satisfont, soit les quatre coordonnées ponctuellesy soit les quatre coordonnées tangentielles, les caractéristiques de cette équation tracent sur la surface un système conjugué.

Une équation de la forme (16), contenant cinq coefficients, n'est pas déterminée par la condition d'admettre comme solutions particulières les quatre coordonnées ponctuelles, par exemple. Mais, si Ton ajoute à cette condition celle d'admettre une cinquième solution cp, tous ses coefficients seront parfaitement déterminés, ainsi que le système conjugué formé par ses caractéristiques. En ce sens, on peut dire que, à chaque fonction cp, correspond un système conjugué particulier.

Ainsi, supposons que l'on prenne des coordonnées cartésiennes X. j', z, L'équalion (16), devant alors admettre la solution 0 = ^ = 1, ne contiendra pas le terme en 0, et tous ses coefficients seront complètement déterminés par la condition qu'elle admette, en même temps que x, y^ z, une nouvelle solution particulière <p que nous supposerons exprimée en fonction de Xj y^ z, par exemple. Ramenons Téquation à la forme (20) en prenant comme nouvelles variables les paramètres p, pi du système conjugué formé par ses caractéristiques; et soit alors

Op àpi âp dpi

sa forme nouvelle. On aura

Oo dpi âp dp

l36 LIVRE II. — CHAP. II.

Cl les équations analogues eh y et z. Si l'on exprime maintenant

que o en est une solution, et si Ton élimine , .. > . \ > , . ^ * ' dp dp i dp Opi dp dpi

au moyen des équations précédentes, on trouvera

d^ ^ dx dx <^* ? / ^"^ ^Ik ày dx\ <)* cp ()z ()z

ôx^ dp dpx ' dxdy\dp dpi dp dpij '" dz* dp dpt

C'est une relation à laquelle devront satisfaire, en chaque point de la surface, les tangentes aux deux familles conjuguées.