DANS LA THÉORIE PRÉCÉDENTE
Syslcmes linéaires possédant une intégrale du second degré. — Leur intégration ramenée à celle d'une équation de Riccati. — Remarques générales sur cette équation.
13. Il nous reste à étudier d'une manière détaillée l'intégration du système
di
ar,
dt
auquel satisfont les trois groupes de cosinus. Nous avons déjà signalé une propriété fondamentale de ce système. 11 admet l'intégrale du second degré
(2) a* -h 3* -h Y* = const.
et l'existence de cette intégrale entraîne, comme corollaires, une série de propositions qui facilitent, dans plusieurs cas, l'intégration du système.
Avant de commencer rétud,e des équations (i), je vais d'abord montrer que tout système linéaire de la forme
' ^= Aa-f- B3 -+-(>;, dt
OÙ A, B, C, ... sont des fonctions de /, peut être ramené à la
ao LIVRE I. — CHAP. II.
forme (i) toutes les fois qu'il admet une intégrale du second degré
(i) ?(«. P» Y) = const.,
o désignant une fonction homogène du second degré, à coefficients constants ou variables.
En effet, par une substitution linéaire qui ne change évidemment pas la forme des équations (3), on peut ramener Téquation (4) (sauf les cas exceptionnels, que Ton traitera facilement, où la fonction ^ serait un carré ou une somme de deux carrés) à la forme
(>) a*-f- ?*-f- Y* = consl.
Si Ton exprime que le premier membre de cette équation est une intégrale du système (3), on obtient les équations
qui montrent bien que le système (3) se ramène à la forme (i).
Le sj'stème (i) nous apparaît donc comme le Ij^pe ou \di forme réduite d'une classe entière de systèmes présentant la propriété, que Ton rencontre fréquemment dans les applications, d'admettre une intégrale du second degré. Ce caractère particulier des équations que nous allons étudier méritait d'être signalé et suffirait à justifier retendue des développements qui vont suivre.
li. Je vais montrer d'abord que, toutes les fois que l'on connaîtra une solution particulière (ao, Poî Yo) du système (i), on pourra joindre l'intégrale du premier degré
aaj-h ?,3o-f- YYo = const.,
à l'intégrale déjà donnée du second degré.
En effet, si l'on a une solution quelconque (a, P,y) du syslème (i), on en pourra déduire, d'après les propriétés de toul système linéaire, une solution plus générale
a-+-A-ao, p-+-A-po, Y-^^'ïo,
A* désignant une conslante quelconque. On devra donc avoir, pour toutes les valeurs de A*,
(a-t- Aao)S-4-(p-4-A-,3o)»-t-(Y-4- Ayo)*- consl.
