SYSTÈMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASTHPTOTIQUES

(levant admettre les solutions particulières x etj)*, on aura d^abord

sî Ton exprîme ensuite qu'elle admet également les deux solutions

on obtiendra les deux relations

kr -Bs-^Ct^- o, A(i -1-/?*) -h Bpq -t- C(i ~ (7«) = o,

où p^ y, r, Sy t désignent les dérivées de 5, et qui déterminent les rapports de A, B, C. L'équation cherchée est donc

— [r(i -h q^) - t{i -^p'^)] ■^—- -^^[rpq—sii -+-/?»)] — = o,

etl'équatîon différentielle de ses caractéristiques fournit l'équation bien connue des lignes de courbure.

109. La théorie des lignes asymptotiques d'une surface se rattache par les liens les plus étroits à celle des systèmes conjugués. Si l'on groupe ces lignes en deux familles distinctes, comme on le fait pour les lignes de courbure, on peut dire que chacune des deux familles ainsi obtenues est conjuguée à elle-même. Par conséquent les lignes asymplotiques se conservent lorsqu'on soumet la surface, soit à une transformation homographique, soit aune transformation par polaires réciproques. Le calcul suivant met d'ailleurs ces résultats en évidence.

Conservons toutes les notations du n** 96. Soient toujours w, (^, w, p les coordonnées du plan tangent, x, y^ z^ t celles du point de contact. On aura, nous l'avons vu, les égalités

/ ux ->r- çy -i- wz -\- pt ~o^ {itl) ) u dx -\- V dy -^ w dz -\- p dt =^ o,

\ X du -^-y dv -^ z dw -\- t dp = o.

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qui se rapportent à un déplacement quelconque effectué sur la

surface.

Cherchons l'équation différentielle des lignes asyraplotiques.

Il faudra écrire que le plan osculateur de ces lignes coïncide avec

le plan tangent, c'est-à-dire que le point dont les coordonnées

sont

x -{- dx-- l^d^Xj y -^ dy -r- { d^y, . . .

se trouve dans le plan tangent. On est ainsi conduit, en tenant compte des égalités précédentes, à l'équation

Les identités que Ton obtient en différenliant les deux dernières équations (22) nous permettent de remplacer l'équation précédente par une des deux suivantes

( du dx -4- di^ dy - f- dw dz -^ dp dt = o, \ xd'^u-^- yd^-v r- zd'^w -X- td^p =0,

qui lui sont équivalentes.

La première de ces deux formules donne immédiatement l'équation différentielle des lignes asymptotiques quand la surface est définie par son équation, soit en coordonnées ponctuelles, soit en coordonnées tangentielles ; mais les formules précédentes (23) et (24) permettent aussi d'écrire cette équation différentielle si l'on suppose que les coordonnées soient exprimées en fonction de deux variables a et p. Par exemple, si l'on élimine m, v^ <v, p entre la première équation (22), les deux équations (i3) du n" 96 et l'équation (23), on sera conduit à la relation

<)x Ox ,, I

f)Z ôz ,,

z — -Tz d'-z

()t l)t (|ui constitue l'équation différentielle cherchée. Si l'on développe

8YSTË1IBS CONJUGUÉS. — LIGNES AS YM PTOTIQU ES. iSlJ

et si l'on ordonne par rapport à rfa, d^, on trouvera

dx dx

^ âOL d?

d^x dx»

•^ da dp dz dz

d»j dx«

" dx dp

dx2

d/ dt

' da dp

dx«

dj?

djF d'à?

^ dx

dp dx dp

r rk

dr •^ dx

dv dîy dp dx dp

dz d«z

" dx

dp dx dp

' di

dxdp

dp*

dp^

L'équation en coordonnées tangcntîelles est toute semblable cl s'obtiendra en remplaçant dans la précédente x^ r, z, / par

Nous pourrions déduire de l'équation précédente la proposition déjà démontrée (n** 98) relativement aux. systèmes conjugués; car la condition nécessaire et suffisante pour que les deux familles de courbes (a), (P) soient conjuguées, c'est-à-dire pour que les tangentes aux courbes coordonnées qui passent en chaque point de la surface divisent harmoniquement l'angle formé en ce point par les tangentes asymptotiques, est évidemment que le coefficient de doLd^ soit nul dans l'équation différentielle (aS). Nous retrouvons ainsi la condition déjà donnée (n" 97).

HO. Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra sur une surface un système conjugué, on pourra écrire Téquation des lignes asymptotiques sous une forme qui ne contiendra plus le rectangle dcid^.

Ici se présente une nouvelle occasion d'appliquer la proposition de M. Koenigs, car si l'on suppose que la droite D qui figure dans l'énoncé de cette proposition s'éloigne à l'infini parallèlement à un plan fixe, on reconnaîtra que les sections planes, parallèles à

ce plan fixe, ont pour conjuguées les courbes de contact des cylindres circonscrits à la surface dont les génératrices rectilignes sont parallèles aux diverses droites de ce plan. Si l'on rapporte les points de la surface à ce système conjugué, l'équation des lignes asymptotiques ne devra contenir que les carrés des différentielles. Prenons en effet un système de coordonnées cartésiennes Xyj^, z et soient/?, q les dérivées de ;; considérée comme fonction dex et de y. En supposant que le plan fixe ait été choisi pour plan des yz, les variables qu'il faudra adopter seront les suivantes :

(26) X ~- OLf q = ^,

De l'équation

dz = p dx -r- q dy\ on déduit

d{z — qy) = p dx —y dq — p dt — y d'^. Par conséquent, si l'on pose

(27) z — qy = z',

et si l'on exprime z' en fonction de a et de p, l'équation précédente nous donnera évidemment

ôz' ôz'

ou encore

/>' et y' désignant les dérivées de z' par rapport à a et à p. L'équation différentielle des lignes asymptotiques

dp dx -\-dq dy = o

deviendra donc, avec les variables a et p, ( 29) dp' doL — dq' d^ = o,

et, si l'on remplace /?', y' par leurs expressions r' rfa 4- 5^ rf^, s' doL 4- ^'rfp, en fonction des dérivées secondes r', 5', (f de z', elle prendra la forme

(3o) rdoi^—t'd?^=:o.

SYSTÈMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASYM PTOTIQU ES. l4l

qui, comme nous Tavions prévu, ne contient plus le terme en doLcip,

m. La forme si simple de celte équation permet d'obtenir un grand nombre de surfaces dont on pourra déterminer en termes finis les lignes asymptotiques.

En effet, considérons à la fois une équation différentielle

et l'équation aux dérivées partielles

(32) r'—t'o{oL, p) = o.

Si l'on sait trouver une fonction z' satisfaisant à cette dernière équation, on en déduira une surface en remontant k x^ y^ z par les formules

Or les lignes asymptotiques de cette surface seraient déterminées par l'équation

et, en remplaçant -7 par sa valeur déduite de l'équation (32), on

retrouvera l'équation (3i). Toutes les fois que l'on saura intégrer cette équation différentielle en même temps que l'équation aux dérivées partielles (Sa), on aura donc des surfaces dont on connaîtra les lignes asymptotiques. ,

Supposons, par exemple, que l'on prenne pour la fonction cp une constante k'^. Les équations finies des deux systèmes de lignes asymptotiques seront

P -h A'ot = consl., p^A'a = const. L'équation (3a) aura pour intégrale générale

;;' = F(p -t- kl.) -r- Fi(? - kx\

et les coordonnées x^ y^ z d'un point de la surface seront données en fonction de a et de ^ par les formules

j = F-?F'-+-F,— pF',.

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