Voici encore une autre application de la formule (a

Considérons les surfaces pour lesquelles les coordonnées cartésiennes XjYj z sont définies en fonction de deux variables p, pi par les expressions suivantes :

( z - - Ci p — c /« ( pi — c )".

Je dis d'abord que les courbes (p), (p^) tracent sur ces surfaces un système conjugué. On vérifie en effet que les trois coordonnées satisfont à Téquation

Il suit de lu que, si Ton cherche Péquation des lignes asymptoliqucsen appliquant la formule (25), cette équation ne contiendra pas de terme eu dp dpi. En faisant le calcul, on obtient en effet l'équation différentielle

m ( m - î ) fh^ n{ n - 1) do}

i a ■ - p )' ù -■- p ), c - - p) ( a - - pi )( 6 — pixc— pi)

qui s'intègre dans tous les cas par des quadratures, mais dont Tin-

tï'îgrale est algébrique toutes les fois que le quotient — est

le carré d'un nombre commensurable.

Dans le cas particulier où m est égal à /i, on peut éliminer p, Pi et trouver l'équation de la surface, qui est

— j <^--c) - ('r>j (c — ^)~ (r) I «— ^)~ ( <^ - - ^ >(^ - cj^a — c).

On reconnaît les surfaces tétracdralcs, dont Lamé a commencé Tétude dans sou Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie, publié en 1818, et (jui, depuis, ont été l'objet des travaux de nombreux géomètres, parmi lesquels il faut citer plus particulièrement M. de la Gourueric. L'équation (35) se réduit alors à celle qui a été intégrée par Euler et qui donne l'addition des fonctions elliptiques. Parmi les formes si nombreuses que l'on peut donner a son intégrale, nous

SYSTEMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASYHPTOTIQUES. l43

choisirons la suivante

OÙ a, p, Y désignent trois constantes arbitraires dont la somme est nulle.

En changeant légèrement les notations, cela donne le résultat suivant.

Les lignes asymptotiques de la surface télraédrale

(5)"^ (fi)

sont déterminées par V équation

tn

OÙ oLy p, Y sont trois constantes arbitraires dont la somme est nulle. Leurs projections sur un des plans coordonnés, le plan des yz par exemple, ont pour équation ( * )

'/^""m-Hi)

113. Les formules (33) déterminent un grand nombre de surfaces différentes; elles conviennent en particulier à la surface de Steiner pour m = n = a, à la surface des centres de courbure de

l'ellipsoïde pour m = f , ^ = ^> Nous remarquerons qu'elles

conservent la môme forme, lorsqu'on substitue les coordonnées tangentielles aux coordonnées ponctuelles. Soit, en effet,

wX-f-t'Y-i- wTa — i = o

(*) Les lignes asymptotiques des surfaces tétraédrales ont été déterminées en premier lieu par M. Lie [voir l'article Ueber die Beciprocitâts-Verhàltnisse des Jîeye'schen Complexes {Gôttingen Aachrichten, pp. 53-66; 1870)]. La méthode indiquée ici a été développée par l'auteur dans le Bulletin des Sciences mathématiques, t. I, !'• série, p. 355; 1870.

l4i LIVRE II. — CIIAP. II.

Féquation du plan tangent; w, p, iv seront déterminés par les trois

équations

ujr --- çy -•- ivz =1,

(Ir ()v ()z

tt V -T- -• w — = o.

qui donnent

(h Op Op

()t ()y ôz

(>3, C>3i dSi

(p — b)^-»U pi — h) '2^' BY^ — aj^b'—'c ) ~