IV

c ( c — « ) ( c — b ) Si, en particulier, on a

on obtient des surfaces qui coïncident avec leur polaire réciproque par rapport à la surface du second degré

Dans ce cas encore, l'équation différentielle des lignes asvniptotiques se réduira à celle d'Euler ( ' ).

114. En terminant ce sujet, nous indiquerons, entre la théorie des lignes asymptoliques et celle des équations linéaires aux dérivées partielles, des rapprochements analogues à ceux qui font l'objet des n"* 8i et 107. Une famille de lignes asyinptotiques pouvant être considérée comme un système qui est à lui-même son propre conjugué, le théorème du n** 107 nous donne immédiatement le suivant :

Si les coordonnées x^ y^ z^ t ou u, Vj \r, p, considérées comme des fondions de cl et dt^ p, salis/ont à une équation linéaire de la forme (16) pour laquelle les caractéristiques sont confon-

(' ) On pourra consulter une Note sur les lignes asymptoliques de la surface des ondes {Comptes rendus^ t. XCVII, p. loSg; i883) où l'on trouvera une ;;t*néraIisalion de la mclhode qui est employée dans les derniers numéros do ce Chapitre.

SYSTÈMES CONJUGUÉS. — LIGNES ASTMPTOTIQUES. l45

dues y les caractéristiques de cette équation tracent sur la surface une des deux familles de lignes asympto tiques. En particulier, si elles satisfont à une équation de la forme

les lignes a = const. sont asymptotiques.

Cette dernière partie de la proposition se vérifie immédiatement, à rinspection de l'équation (sS), dans laquelle le coefBcient de e/p2 devient nul, en vertu de l'hypothèse.

Toutes les fois que l'on aura une équation linéaire de la forme (36) et que l'on en connaîtra quatre solutions linéairement indépendantes, le théorème précédent permettra d'obtenir une surface sur laquelle on connaîtra une des deux familles de lignes asymplotiques.

l46 LIVRE II. — CIIAP. III.