CHAPITRE m

Division de la surface en carrés infiniment petits. — Systèmes isothermes et coordonnées symétriques. — Cartes géographiques. — Résolution du problème pour les surfaces de révolution et les surfaces du second degré. — Systèmes isothermes dans le plan.

H5. Après avoir donné les propriétés les plus simples des systèmes conjugués, nous allons considérer les systèmes orthogonaux et particulièrement les systèmes à la fois orthogonaux et isothermes. Nous recherchons d'abord tous les systèmes de coordonnées orthogonales permettant de diviser la surface en carrés infiniment petits.

Soit

û?j» = A* dv> -\- C« dv'^

l'expression de l'élément linéaire^ A et C seront des fonctions données de </ et de i^

Considérons (Jig- 6) quatre lignes coordonnées de chaque famille : (A), (A^), (B), (Bi), correspondantes aux valeurs

Mo, Mo -H ^Mo> M» u -^ du de M, et (C), (C|), (D), (D<), correspondantes aux valeurs

de V. Elles déterminent évidemment quatre rectangles infiniment petits (i), (2), (3), (4)- Cherchons s'il est possible de disposer de du^ dvj duoy dvoj ^^ ^^elle manière que ces rectangles soient tous des carrés. La considération de chacun d'eux nous donnera les

relations

DES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET ISOTHERMES. l s\y

^{u, vq) dvQ r= f{u, Vo)du, f{u, v)du = ^{Uf v)dv.

Ces équations, au nombre de quatre, ne contiennent que trois inconnues, les rapports de rfw, rf(^, rfwo, rf^o» L'élimination de ces rapports conduira à une condition, que l'on obtient d'ailleurs immédiatement en multipliant membre à membre toutes les équations. On trouve ainsi

Fig. 6.

Donnons dans cette relation à Uq et à Vq des valeurs numériques quelconques. Elle prend la forme

et, par conséquent, on devra avoir

C = ç(a, p) = Xei(p),

X désignant une fonction quelconque de u et de (\

Si l'on substitue ces valeurs de A et de C dans l'élément linéaire,

l48 LIVRE II. — CHAP. III.

on obtient la nouvelle expression

ds^ = X* [e«(M) du'^ -h 0}(«;) dç^]

ou, plus simplement,

(i) ds^=^\'^{du\-^dv\),

en posant

"i = /Q(") ^"» ^\ = f^\(^) dv-

Réciproquement, toutes les fois que l'élément linéaire pourra être ramené à la forme précédente, la surface, nous le savons (n° 65), sera divisible en carrés infiniment petits par les lignes coordonnées.

116. Nous avons déjà rencontré plusieurs surfaces sur lesquelles il existe des systèmes orthogonaux et isothermes: nous allons maintenant démontrer que l'élément linéaire d'une surface quelconque peut, d'une infinité de manières, être ramené à la forme (i). Pour comprendre la méthode suivante, il suffit de remarquer que, si l'on substitue à Wi, Vi les variables complexes

oL = ui-h zVi, p = aj — tVj,

la formule (i) se présente sous la forme

( -2 ) ds^ = 'kdoi d^.

Gela posé, considérons une surface quelconque dont l'élément linéaire soit donné sous la forme la plus générale

ds^ = E du^-^ ^F du dv -h G dv^.

Posons, pour abréger,