H«=EG — F

et excluons le cas, qui d'ailleurs ne peut se présenter pour des surfaces réelles, où EG — F^ serait nul et où l'élément linéaire serait un carré parfait (*). On pourra décomposer l'élément li-

(') L'élément linéaire n'est un carré parfait que dans le cas où la surface est une dévcloppable circonscrite au cercle imaginaire de Tinfini. En effeti supposons

DES 8TSTB1IES ORTHOGONAUX ET ISOTHERMES. l49

néaire en deux facteurs et écrire

dst = Cv/Ërfa + ^-^ d^fs/Ëdu + ?-^ dX

Si nous égalons à zéro successivement les deux facteurs, nous aurons deux équations différentielles. Soient

les intégrales de ces équations ; elles définiront deux familles de lignes imaginaires tracées sur la surface et dont l'arc sera égal à zéro. On aura, comme on sait,

doL = iil \/E du -¥- — — di^ 1 ,

que l'on ail

ds* — {mdu-^ ndv').

Soil j le facteur qui rend

mdu -h ndv

une différentielle exacte.

On pourra poser

(t) ds' = h'd^*;

h sera une fonction de p et d'une seconde coordonnée curviligne a permettant de définir, avec p, les différents points de la surface. Les coordonnées rectangulaires X, y, z d'un point quelconque de la surface devront satisfaire aux deux équations

(dx dx ày dy dz dz

En différentiant la première par rapport à a et à p, on obtient

/ dx d'x ây d^ dz cK^ __

\ dx 07^ "^ dx dâ* "^ dx dx* " ^' (3) \

I dx d'x dy ^y ^ dz d'z __

\ di dxdli "^ di dxd? "^ dx dxd? ~ °' Si l'on différentie la seconde des formules (a) par rapport à ot, on aura, en tenant

t'f^f LIVftE II. — CH\P. III.

|jL el V étant des fadeurs conveDablement choisis; a, ^ sont évidemment des fonctions de u et de r indépendantes l'une de Tautre; car leur déterminant fonctionnel