CHAPITRE IV

Énoncé dii problème. — Principe analytique sur lequel repose la solution. -- Représentation conforme sur la région du plan située au-dessus de l'axe réel d'une aire plane à connexion simple limitée par des lignes droites ou par des arcsdr cercle. — Méthode de M. Schwarz. — Application au triangle plan limité par trois arcs de cercle et au triangle sphérique.

128. Nous avons reconnu, dans le Chapitre précédent, que l'on peut faire correspondre à toute fonction Z=/(z) de la variable complexe:; une méthode de transformation avec similitude directe des éléments infiniment petits et nous avons exposé les propriétés les phis élémentaires des transformations en nombre illimité que Ton peut ainsi obtenir. JNous nous proposons maintenant d'étudier, dans un cas assez étendu, la solution du problème suivant :

Étant données deux aires planes (A), (A,), déterminer la fonction 7j=/{z) qui permet d^effectuer une représentation conforme de Vunc des aires sur Vautre, de telle manière qu^à un point j pris dans l'intérieur de l'une quelconque des deux aires, corresponde un seul point pris dans l'intérieur de l'autre, et qu'aux points pris sur le contour de l'une des aires correspondent les points pris sur le contour de l'autre.

L'examen de cette belle question prise dans son énoncé le plus général se rattache à la solution des problèmes les plus importants de rAnalvsc et de la Physique mathématique. Dans Tarlicle 21 de (*) sa Dissertation inaugurale, Riemann a montré qu'il est toujours possible de la résoudre. La démonstration de Riemann s'appuie sur un postulatum auquel l'illustre géomètre a donné le

( ' ) KiEMATfx, Gesammelte nialhematische Werkc, p. 89.

nom de principe de Dirichlet, Dans différents travaux, et en particulier dans un article inséré aux Monatsberichte (*) de l'Académie de Berlin, M. Schwarz a établi le théorème de Riemann sans employer le principe de Dirichlet; mais la démonstration de l'éminent géomètre n'a pas encore été publiée dans tous ses détails.

On doit aussi à M. Schwarz (2) des recherches très étendues relatives au cas, très important pour la théorie des surfaces minima, où les aires planes dont il s'agit d'obtenir une représentation conforme sont limitées par des arcs de cercle ou des lignes droites. Nous nous proposons de faire connaître ici les principes de la méthode de M. Schwarz.

Si l'on peut représenter deux aires planes (A), (A') sur une troisième aire (A"), on pourra évidemment les rapporter Tune à l'autre avec similitude des éléments infiniment petits. Le problème de Riemann peut donc se ramener au suivant :

Représenter une aire quelconque (A) sur une aire déterminée (A."); par exemple, sur la sur/ace d'un cercle de rayon donné, ou sur la partie du plan qui se trouve au-dessus de l'axe des x*

Le problème ainsi posé n'est pas encore pleinement déterminé ; car, si l'on considère, par exemple, la région (K) du plan qui se trouve au-dessus de l'axe des .r, il est aisé de reconnaître qu'elle est applicable sur elle-même d'une infinité de manières, avec similitude des éléments infiniment petits. Désignons, en effet, par z la variable complexe et considérons la transformation définie par la formule

cz -+- a

(») H. -A. Schwarz, Ueber die Intégration der partiellen Differentialgleichung y-j -h -7—^ = o unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeits-Bedingungen

{Monatsberichte der Berliner Akademie, octobre 1870, p. 767).

(') H. -A. ScuwARz, Ueber einige Abbildungsau/gaben {Journal de Crelle, t. LXX, p. io5-i2o, 1869).

Ueber diejenigen Fàlle in welchen die Gaussische hyper geometrische Beihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt {Journal de Crelle, t. LXXV, p. 29a; 1872).

l-ra LIVRE II. — CHAP. IV.

OÙ a, 6, c, cl sont des constantes réelles. Soient Zq et Zo les variables imaginaires conjuguées de z et de Z, on aura

c Zq -h- a

et, par conséquent,

si le déterminant ad — bc est positif, la transformation, qui fait correspondre aux valeurs réelles de z des valeurs réelles de Z, fera aussi correspondre aux valeurs de z, dont la partie imaginaire est positive, des valeurs de Z jouissant de la même propriété; en d'autres termes, elle constituera une représentation conforme de la région (K) sur elle-même. On démontrera aisément, soit par l'Analyse, soit par la Géométrie, qu'il est toujours possible de trouver une transformation de ce genre faisant correspondre trois points donnés de Taxe des x à trois autres points également donnés du même axe, ou faisant correspondre un point donné quelconque dans l'intérieur de (K) à un autre point également donné dans rintérieur et, de plus, un point de l'axe des x à un autre point pris sur le même axe.

Si l'on admet, comme il est possible de le démontrer, que la transformation définie par la formule (i) est la plus générale de celles qui réalisent la représentation conforme de la région (K) sur elle-même, on voit que le problème de Riemann peut être ramené au suivant qui devient parfaitement déterminé :

Étant donnée une aire (A) à connexion simple, la représenter d'une manière conforme sur la partie supérieure (K) du plan, de telle manière qu^à trois points pris sur le contour de Paire (A) correspondent trois points donnés de l'axe des x.