Désignons par

la fonction de l'argument complexe qui donnera la solution du problème. Nous allons énumérer les conditions auxquelles elle est assujettie :

i** Elle doit être uniforme et continue pour toutes les valeurs

de 5 représentées par des points pris à l'intérieur de Taire (K); si Zo désigne Tune de ces valeurs, elle sera développable dans le voisinage de la valeur Zq, suivant les puissances entières et positives de :; — Zq.

2° La dérivée /'(^) ne peut s'annuler pour aucun point Zq compris dans rintérieur de Taire (K); car, si la dérivée s'annulait pour z = Zq^ il y aurait, dans le voisinage du point Zq, au moins deux points z pour lesquels la fonction Z aurait la même valeur, et, par conséquent, à un point de Taire (A) correspondraient plusieurs points de Taire (K), ce qui est contraire à Thypothèse.

3** La fonction Z ne doit pas cesser d'être continue pour les valeurs réelles de z^ qui sont représentées par des points de Taxe réel. Seulement, on ne suppose pas que, pour ces points, elle soit nécessairement développable suivant les puissances entières et positives de 5 — Zq] car elle n'est définie, dans leur voisinage, que pour les valeurs de z dont la partie imaginaire est positive.

4° Enfin :;, considérée comme fonction de Z, doit satisfaire aux mêmes conditions que Z considérée comme fonction de z ; c'està-dire qu'elle doit être, dans le voisinage du contour de Taire (A), une fonction uniforme et continue de Z, prenant des valeurs réelles quand le point Z vient se placer sur le contour.

Réciproquement, si une fonction Z satisfait à toutes ces conditions, on démontrera aisément qu'elle donne la solution du problème. Plus généralement si, dans une aire quelconque (A), à connexion simple, se trouve définie une fonction Z uniforme à Tinlérieur de cette aire et satisfaisant aux conditions que nous

venons d'énoncer, elle fournira une représenlation conforme de (A) sur une aire (A'), à connexion simple comme la première, mais qui pourra, dans certaines parties, recouvrir plus d'une fois le plan si la fonction Z prend plusieurs fois les mêmes valeurs à l'intérieur de (A) {\o\vfig, 7).

Après avoir indiqué les conditions auxquelles doit satisfaire la fonction Z, nous allons exposer comment M. Schwarz a donné les moyens de déterminer cette fonction dans le cas où Taire (A) est limitée par des droites ou par des arcs de cercle.

130. Voici le principe analytique sur lequel repose la solution (*).

Considérons une fonction Z de ^ définie seulement pour la partie supérieure du plan et satisfaisant d'ailleurs à toutes les conditions énumérées dans le numéro précédent. Si la fonction est réelle pour toutes les valeurs réelles de z voisines d'une valeur réelle 5o, elle sera développable dans le voisinage de Zq en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z© et les coefficients de cette série seront tous réels.

Considérons, en eflet {fig- 8), une aire (U) limitée par le con-

tour A^o^^D, comprise tout entière dans la partie supérieure du plan, et soit (U') l'aire symétrique de la première par rapport à l'axe des x, La fonction Z n'est connue, par hypothèse, que pour la partie supérieure du plan. Mais on peut la définir aussi pour la partie inférieure en convenant qu'à deux valeurs imaginaires con-

(*) Ce principe a élé énoncé et démontré par M. Schwarz dans un article déjà cité {Journal de Crelle, l. LXX, p. 107). Il a élé aussi employé par Ricmann dans le Mémoire sur les surfaces minima {Gesammelte WerkCy p. 397).

jiiguées de la variable, qui sont représentées par deux points places symétriquement par rapport à Oic, correspondent deux valeurs imaginaires conjuguées de la fonction. Ce prolongement analytique de la fonction laisse évidemment subsister la continuité puisque la fonction Z est, diaprés sa définition, réelle et continue pour les valeurs réelles de z,

La fonction étant ainsi définie dans l'intérieur des aires (U) et (U'), considérons les deux intégrales

\ r zdz \ r zdz

prises le long des contours ABDA, AGBA des deux aires. D'après le théorème de Cauchy, la première de ces intégrales est égale à /(s ) et la seconde est nulle lorsque le point Ç se trouve à l'intérieur de l'aire (U); si, au contraire, le point ^ se trouve à l'intérieur de (U'), le résultat est inverse; la première intégrale est nulle et l'autre est égale à /(Ç)(*). Donc, toutes les fois que le point Ç se trouve à l'intérieur de l'aire (U)-|- (U'), la somme des deux intégrales est égale ày(Ç). Mais, si l'on ajoute les deux intégrales, les parties relatives à la portion coinmune du contour AB, étant égales et contraires, se détruiront mutuellement, et il restera seulement l'intégrale

I r7.dz

'}. T. ij z — î

prise le long du contour ACBDA. Or on sait, et il est évident, que cette intégrale est développable en série dans le voisinage de tous les points à l'intérieur du contour et, en particulier, pour les valeurs réelles de Ç, qui sont représentées par les points de la droite AB.

On aura, en particulier, pour ÎJ = ^o

Z — Zo = a(3 — ^0)-+- ^(-2— •=0)*-+- c(j — Jo")'-^-.. ..

(*) Il y a ici une légère difficulté que nous nous conlcnterons de signaler el qu'il est d'ailleurs facile de faire disparaître, tenant à ce que l'on applique le théorème de Cauchy à une fonction qui n'est pas supposée développable en série pour les points du contour. On reconnaîtra aisément que le théorème est encore applicable toutes les fois que la fonction fi,z) est supposée continue dans le voisinage du contour de rair*\

• et comme à des valeurs réelles de z doivent correspondre des valeurs réelles de Z, les coefficients a, é, c seront tous réels. Si, de plus, il arrive, comme dans les exemples que nous allons traiter, que z considérée comme fonction de Z doive satisfaire aux mémos conditions que Z considérée comme fonction de ^, Téquation précédente, résolue par rapport à z — Zq, devra donner une série ordonnée par rapport aux puissances entières de Z — Zq et, par conséquent, le coefficient a sera toujours difierent de zéro.

131. Ce lemme préliminaire étant établi, considérons d'abord une aire (A) limitée par des lignes droites (L<), . . ., (L„). Soit Zo l'affixe d'un point situé sur une des lignes (L) et soit hrz Tangle de cette ligne avec l'axe réel. Considérons la fonction

Pour un point Z situé à l'intérieur du contour, elle aura les mêmes propriétés que la fonction Z. Si le point Z se trouve sur la ligne (L) dans le voisinage de Zq, elle sera réelle, et changera do signe quand Z passera par la valeur Zq. Il suit de là que Ton peut appliquer le lemme démontré au numéro précédent et poser

le symbole p{z — z^) désignant une série, ordonnée suivant les puissances positives et entières de :ï — Zq^ dont tous les coefficients seront réels, le premier d'entre eux étant difierent de zéro.

Étudions maintenant la fonction Z dans le voisinage de la valeur Zq qui correspond au point de rencontre de deux droites consécutives (La), {Lf^^^) {/ig- 9) faisant entre elles l'angle a::.

Considérons la fonction Zq — Z; son argument, qui est l'angle de la droite ZZq (/ig- 9) avec l'axe réel, varie entre les deux limites

quand le point Z se déplace dans l'intérieur de l'aire et se dirige de (La) vers (L^+i ). 11 suit de là que la fonction

[(Zo-Z)e-''r7u]â

sera réelle et positive sur le coté (L^), réelle et négative sur le cùlé

(Lj^+i ) et, d'ailleurs, elle aura les mêmes propriétés que la fonction Z à l'intérieur de l'aire (A). L'application du lemme précédent nous donnera donc

[(Zo- Z)e-'«/u]« = (z- Zo)p{z - z,),

p{z — ^o) ayant la même signification que précédemment. On peut encore écrire en élevant les deux membres de l'égalité à la puissance a

(4) Z — Zo = e'-^f'k^z — Zo)^piz — Zo),

Enfin, pour tous les points à l'intérieur du contour, la dérivée de Z n'étant jamais nulle, on aura

(5) Z — Zo= (z — Zo)P{z — Zo)y

P(z — -^o) désignant une série analogue à la série p{z — ^o)> mais dont les coefficients ne sont pas nécessairement réels.

Il nous reste à considérer le point du contour qui correspond à la valeur infinie de :;. Comme on peut toujours eflectuer la substitution

qui donne une représentation conforme de la portion supérieure du plan sur elle-même, ce cas se ramène aux précédents et l'on aura

si le point n^est pas un sommet du contour, et

si le point est un sommet où les deux côtes consécutifs se rencontrent sous Tangle aTî, mesuré toujours dans l'intérieur de (A).

132. Les développements précédents embrassent toutes les hypothèses possibles. Pour éliminer les constantes Zq et h qui changent de valeur quand on passe de l'un à l'autre, considérons avec M. Schwarz la fonction

(8) ^zlog^j = K(.).

On trouvera par un calcul facile :

1° Pour un point à l'intérieur de l'aire,

2» Pour un point pris sur un des côtés du contour,

3" Pour un sommet du contour correspondant à l'angle 7.T.

Pi(;5 — z^i), p^{z — :;o) désignant des séries de puissances et les séries px {z — -3o) ayant de plus leurs coefficients réels;

4" Enfin, pour le point correspondant à la valeur infinie de 5,

(12) V.{z)=---\ -^-1 pJ\\

si ce point n'est pas un sommet du contour.

Les trois dernières formules nous montrent que la fonction E(:;) est réelle pour toutes les valeurs réelles de z et qu'elle peul, par conséquent, être prolongée analvliquement d'après la méthode indiquée au n^ 130. D'ailleurs elle n'a, d'après les développements précédents, qu'un nombre limité de pôles, qui correspondent aux sommets du contour; et elle devient infiniment petite

pour z infiDÎment grand. D'après les théorèmes connus de la théorie des fonctions, elle sera donc une fraction rationnelle.

Soient a, 6, c, . . ., / les valeurs de z qui correspondent aux sommets du contour et soient air, pit, yir, . . . , Xir les angles formés en ces sommets, mesurés dans l'intérieur du polygone. On aura

(.3) E(--)=2j^ = rf.'"8-rf.'

avec la condition

qui n'est que l'expression analytique du théorème relatif à la somme des angles d'un polygone.

L'intégration de l'équation (i3) nous donne

Z = G f{z — a)«-« {z - b)^-^ ...{z — /)^-> dz -f- C,

C et CJ désignant deux constantes arbitraires réelles ou imaginaires. En déplaçant l'aire (A) sans changer ni sa forme ni sa grandeur, on peut ramener l'expression de Z à la forme

(14) Z = ^f{z — a)2t-ï(^ - i>)p-J . . .(5 — l)^-^ dz,

où H désigne une constante réelle.

Telle est la formule donnée par M. Schwarz ( * ) et par M. Christoffel (2).

Comme on peut prendre arbitrairement (n** 128) les valeurs de z qui correspondent à trois sommets du polygone, elle contient en réalité 2n — 3 constantes. On peut disposer de ces constantes de manière à obtenir la représentation conforme d'un polygone quelconque, mais ce résultat essentiel se déduit seulement du théorème général démontré par Riemann et M. Schwarz sur la représentation conforme des aires planes quelconques, et nous ne connaissons aucun travail développé où se trouve étudiée d'une manière générale la détermination des constantes a, é, r, ...,/, H lorsque le polygone est donné.

(') ScnwARz, Ueber einige Abbildungsau/gaben, p. ii4; i86'|, 1866. (») CiiRisTOFFEL, Stil p/'oblcnia délie température stazionarie e la rappresentazione di una data superficie {Annali di Matematica, t. I, p. 97; 1867).

l8o LIVRE II. — CHAF. IV.

Dans le cas du triangle, dont la forme est déterminée par la valeur des angles, la solution est évidente. En faisant varier la constante H, on obtiendra tous les triangles semblables à un triangle donné et l'on pourra déterminer cette constante de manière à obtenir Tun quelconqne de ces triangles.

Si le polygone est un rectangle, on aura

Z deviendra une intégrale elliptique que l'on pourra supposer ramenée à la forme normale

Les côtés du rectangle seront

a=2HK, 6 = HK',

K et K' désignant les intégrales complètes qui entrent dans la formation des périodes; par conséquent, si l'on pose

q = e ^ =z e " , le module sera défini par l'équation

qui donnera ainsi, dans ce cas particulier, la solution complète du problème.

133. Passons maintenant à l'examen du cas où le contour est composé d'arcs de cercles; nous supposerons, pour plus de netteté, que deux cercles consécutifs ne soient jamais tangents.

Comme on peut toujours, au moyen de la transformation circulaire (n" 124) définie par la formule

„ aZi -+- 6 (i6) Z=--i -.,

transformer en une ligne droite un quelconque des cercles qui composent le contour, et même deux cercles consécutifs de ce

REPRESENTATION CONFORME DES AIRES PLANES. l8l

contour, nous pourrons appliquer immédiatement les résultats obtenus au n® 131 et nous voyons que Ton pourra toujours choisir les constantes réelles ou imaginaires a, 6, c, d de telle manière que Z^ prenne la forme (3) sur un des côtés, et la forme (4) en un des sommets du contour. On aura donc pour Z les expressions suivantes :

i" En un point quelconque du contour,

(17) Z ^ <^i^ — ^o)pi^—^^)-^^,

2^ En un sommet où deux cercles consécutifs font Tangle air, mesuré dans Tintérieur de Taire,

(i8) rj^^a(z — Zo)^p(z —z,,)^b^

c{z — Zo)^p{z—'Zo)-i-d'

3° Au point du contour qui correspond à la valeur oo de z, (19) Z =

si le point n'est pas un des sommets du contour, el (20) z =

tA^)

si le point est un sommet où deux côtés consécutifs font Tangle air. 4° Enfin, pour un point à l'intérieur de Taire, on aura, conmie précédemment,

(21) Z — Zo={z — Zo)P(Z'—Zo).

134. Dans ces différentes, formules, a, 6, c, rf désignent des constantes réelles ou imaginaires, qui ont des valeurs différentes suivant les développements que Ton considère. Voici Tartifice ingénieux par lequel M. Schwarz a éliminé tout ce qui concerne ces constantes.

iBl LIVRE II. — CHAP. IV.

Soit, d'une manière générale,

cT -+- a

une relation entre deux fonctions Z et T d'une variable z. Si l'on élimine les constantes par la diflférentiation, on sera conduit à la relation

(zxy z' T :

( ZT)" Z" T* j = o, (ZT)" Z" T" 1

qui, développée, prend la forme élégante

. ^ d*/. d7.\ i/d. dzy d^ /. dT\ i/d. dry

^^") d7^V''^7rz)'--.[dz^''-7rz) =di^y''^d^)-z[d-z^^^d-z) '

où les variables sont séparées. Si l'on adopte une notation de M. Caylcy (*) et si l'on pose

î^.'i-âK?)-r:(#.'««S)'.

on aura donc

En nous servant des résultats précédents, nous allons étudier le développement de la fonction JZ, ^1 pour tous les points situés à l'intérieur ou sur le contour de l'aire (A) :

i" Pour un point quelconque du contour, il faut remplacer ï par le développement

(z — Zo)p(z — Zo)y

qui entre dans la formule (17). On trouve ainsi un résultat de la

forme

JZ, ;5J= h{z — Zo)-Jr k{z — >5o)*-+-

2"* Pour un sommet, la valeur de T est celle qui figure dans la formule (18),

(') Catlet, On the schwarzian derivative and the polyhedral f onctions {Cambridge philosophical Transactions, mars 1880).

REPRÉSENTATION CONFORME DES AIRES PLANES. l83

Uii calcul facile donne alors

3" Pour le point du contour correspondant à la valeur oo de :;, on trouve de même

si le point n'est pas un sommet et si Ton emploie la valeur de T correspondante au développement (19). Si, au contraire, le point

est un sommet, il faut mettre pour T la valeur —/>(- j > ce qui

donne

i„ , II — a' h k

Remarquons d'une manière générale que, pour tous ces développements, les coefficients sont tous réels. La fonction [Z, zj est donc réelle pour toutes les valeurs réelles de z; elle pourra être prolongée analytiquement d'après la méthode du n® 130 et sera, par suite, définie dans toute l'étendue du plan.

4° Enfin, pour un point à l'intérieur de (A), la dérivée -^- ne

sera jamais nulle et JZ, z\ sera, comme z, une fonction développable pour toutes les valeurs de z,

La fonction }Z, z\, ayant toutes les propriétés d'une fraction rationnelle pour les valeurs finies de z^ et devenant infiniment petite pour z infini, sera une fraction rationnelle. Soient ai, at, , , , , a» les valeurs de z qui correspondent aux sommets du contour, «iir, a^TT, ..., oL/iTz les angles correspondants formés par deux côtés consécutifs. Si Ton a, pour z = ai^

' ) «2 {Z — Oi)^ Z—Ui *

la fonction