INTÉGRATION DU SYSTÈME LINÉAIRE

OU, en développant,

Le premier et le dernier terme du premier membre étant constants, il en sera de même de

a«o-f-P?o-+- YYo»

comme il fallait le démontrer.

Il résulte évidemment de là que, si Ton connaissait seulement deux solutions particulières du système (i), (ao, ^oj Y»)' (ai,,3|,Yi), on pourrait immédiatement écrire la solution générale, qui serait définie par les équations

a* H- p* H- Y* = const., oLOLo-\- Ppo-5- YYo = const., axjH- P3i-f- YYi = const.;

ces équations peuvent être résolues et donnent pour a, p, y les valeurs

Ia = Coao-4-c,a, -hCj(PoYi— Pi Y©)»

? = co ?o H- Cl p, -+- C8( Yo»! — «0 Yi )» Y = CoYo -^ ct Yi -+- C2(aoPi — «i Po),

où Co, C|, C2 désignent des constantes arbitraires. Mais on peut obtenir une proposition plus complète et montrer que, si Ton connaît une seule solution du système (i), une seule quadrature suffira à nous donner son intégrale générale.

lo. Pour établir ce résultat essentiel', remarquons que les valeurs les plus générales de a, p, y doivent satisfaire à la relation

a* -h p* -f- Y* = const.

Commençons d'abord par écarter le cas où la constante serait nulle; on pourra toujours, en divisant ces valeurs par une constante convenable, supposer que l'on a

Remarquons même que, dans le problème particulier que nous avons à traiter, a, P, Y, étant trois cosinus directeurs, doivent nécessairement satisfaire à cette relation. 11 est naturel d'exprimer a,

p, V en fonction de deux variables indépendantes, de manière que la relation précédente soit toujours satisfaite, et de chercher les équations différentielles auxquelles devront satisfaire ces deux variables.

Or, si l'on regarde a, p, y comme les coordonnées d'un point de l'espace, l'équation (-j) représentera une sphère de raj^on i, ayant pour centre l'origine ^des coordonnées. Considérons cette sphère comme une surface réglée, admettant un double système de génératrices imaginaires, et prenons pour variables deux quantités demeurant constantes respectivement sur les génératrices de chaque système. Pour cela, nous poserons

ce qui donnera

a-hi3 I -^- Y

Remarquons que, d'après les formules (8), x eiy seront imaginaires quand a, p, y seront réels, et, en outre, l'imaginaire conjuguée de X sera •

Si nous substituons les valeurs (9) de a, ^, y dans les équations différentielles, ces équations se réduiront à deux, comme on devait s'y attendre, et, après quelques calculs faciles, on obtiendra le système

-7- = — irx -t- -^ ^ -h -^ '- ^*,

at 11

dy . fJ — ip Ç-^ 'P *

X Q\ y doivent donc être deux solutions différentes de la même équation en 7

(11) :7: =— ir^-\- ^ ^ h- -^— — <t*,

et l'intégration du système proposé est ramenée à celle de cette seule équation. Deux solutions particulières distinctes de cette équation donneront toujours, par l'emploi des formules (9), des