V ' — «? V hj

— y ai

demeurant finie pour toutes les valeurs finies de z et devenant infiniment petite pour z infini, sera nécessairement égale à zéro;

l84 LIVRE II. — CUAP. IV.

Ton aura, par conséquent,

Si le point du contour, qui correspond à la valeur, infinie de j, n'est pas un sommet, il faudra, nous Tavons vu, que le développement du second membre suivant les puissances de-> commence

au terme en — > ce qui donnera les égalités

auxquelles devront satisfaire les constantes /i/, a/.

Si, au contraire, le point du contour correspondant à la valeur ^ =00 est un sommet où Tangle de deux côtés consécutifs est ,3-,

le développement devra commencer par le terme — -^y ce qui donnera seulement les deux relations

133. La valeur de jZ, 5J étant obtenue, la suite des raisonnements nous conduit à considérer Téquation du troisième ordre

(-17) jZ, ;;j = F(^),

et à essaver de Tinté^^rer.

L'origine et les propriétés de cette équation simplifient beaucou|> la résolution de ce problème.

En effet, d'après le mode de formation de l'expression jZ, w|, la relation différentielle

est équii'alenle à la relation, en termes finis,

cLi -T- a

REPRÉSENTATION CONFORME DBS AIRES PLANES. l85

et, par suite, la connaissance d^une seule solution particulière Z| de Féquation (27) entraînera celle de Tinlégrale générale, qui sera donnée par la formule précédente, où les constantes a, b, c, d pourront recevoir des valeurs quelconques. Cette propriété si remarquable de l'équation (27) la rapproche des équations linéaires et, effectivement, il est aisé de montrer que l'intégration de cette équation peut être ramenée à celle d'une équation linéaire du second ordre.

Considérons en effet une équation linéaire du second ordre

où pcl q sont des fonctions données de z^ et cherchons l'équation différentielle à laquelle satisfait le rapport

(.9) z = Ji

de deux intégrales particulières. On trouvera, par un calcul facile, (30) {z,^| = ag^-lp.-g.

L'équation ainsi obtenue est de même forme que la proposée (27). il suffira de choisir/? arbitrairement, de déterminer q par la relation

et l'intégration de l'équation (27) sera ramenée à celle de l'équation linéaire (28). Si l'on prenait, par exemple, /; = 0, l'équation linéaire se réduirait à la suivante :

(3a) g5^iF(5)e=o.

Au reste, on s'explique qu'une certaine indétermination puisse subsister relativement à l'équation linéaire, puisque le rapport de deux intégrales particulières ne change pas quand on les multiplie l'une et l'autre par une même fonction donnée, mais quelconque, de^.

L'équation (82), ai^si que toutes celles que Ton obtiendrait en

lb6 LIVRE II.— CIIAP. IV.

prenant pour p la valeur suivante

jU z — ai

OÙ les constantes P/ sont des nombres réels quelconques, a tous ses coefficients et tous ses points singuliers réels; de plus, toutes ses intégrales sont régulières.

Réciproquement, si Ton considère a priori une équation linéaire quelconque du second ordre possédant toutes ces propriétés, on peut établir que le rapport de ses intégrales donne la représentation conforme sur la partie supérieure du plan d'une aire plus ou moins complexe limitée par des arcs de cercle.

Marquons en effet sur l'axe réel {Jig> lo) les points singuliers

Fig. 10.

rti, «2 t'/i-i, ctn de l'équation, et soit

le rapport de deux intégrales particulières quelconques qui, d'après les hypothèses relatives à l'équation, sont des fonctions uniformes de z dans l'aire (U) limitée par l'axe réel et par le demicercle wo-to' de rayon infini. Dans chacun des intervalles a^a^^ a^a^. . . . , ai xaiy . . . , a„xa,, on pourra obtenir deux intégrales particulières qui seront réelles toutes les deux pour des valeurs réelles de z. Si Ton désigne, par exemple, par ti\ le rapport de ces deux intégrales dans l'intervalle ai i ai, on aura évidemment

g/-|-4- ^j.yti-x

ai i , 3i i • Yi i , 0|-, désignant des constantes réelles ou imaginaires,

et comme la variable ti i demeure réelle lorsque le point z décrit le segment ai i a/, on voit que le point Z décrira un arc de cercle. Les arcs de cercles décrits par le point Z qui correspondent ainsi aux n intervalles forment un polygone fermé dans lequel les côtés consécutifs se coupent sous des angles dont la grandeur est quelconque; deux côtés consécutifs peuvent même être tangents quand les développements des intégrales dans le voisinage d'un point singulier contiennent des logarithmes. Mais Texamen de tous les cas, la définition précise de Taire dont on obtient ainsi la représentation conforme nous entraîneraient trop loin.

Nous nous contenterons de remarquer que l'équation (27) contient bien le nombre de constantes qui est nécessaire si Ton veut effectuer la représentation conforme d'un polygone quelconque composé d'arcs de cercle sur la partie supérieure du plan. En effet, la fonction F(z) dépend de 3/i constantes réelles liées par les trois équations (aS), et, comme d'ailleurs on peut prendre arbitrairement trois des quantités a/ (n° 128), il 'reste seulement 3/1 — 6 paramètres réels ; mais il faut leur ajouter six autres paramètres réels servant à former les trois constantes imaginaires qui figurent dans l'intégrale générale de l'équation (27). Le nombre 3/1 de constantes réelles ainsi obtenu est précisément égal à celui des paramètres arbitraires dont dépend un polygone formé de n arcs de cercle.

Il résulte d'une proposition générale, à laquelle M. Schwarz est parvenu parla méthode la plus élégante dans l'article déjà cité (* ), que l'on pourra toujours déterminer ces constantes de manière à obtenir effectivement la solution du problème proposé.

136. Proposons-nous, comme application, de déterminer la représentation conforme d'un triangle formé par trois arcs de cercle. Nous pouvons toujours supposer que les trois sommets de ce triangle correspondent aux valeurs o, i, oo de^. Soient Xir, [xir, vu les angles du triangle en ces trois sommets. Nous aurons ici

I — X* ai II — fx* at

(') Afonatsberichte, p. 768-784; 1870.

el de plus le développement suivant les puissances positives de -^

devra commencer par le terme Cette condition détermine

^1, ^2> et Ton trouve

Or, si Ton considère l'équation

qui définit la série hypergéométrique de Gauss, on reconnaît aisément, en appliquant la formule (3o), que le rapport de ses deux intégrales satisfait à l'équation (33) si Ton prend

(35) X«=(i Y)'> lxî-(Y-a-?)*, v« = (a-?)«.

On pourra donc exprimer Z par le quotient de deux intégrales particulières de l'équation (34). Ces intégrales sont bien connues ; on peut déterminer les variations qu'elles éprouvent quand on suit un chemin quelconque du plan (*) et l'on vérifie qu'elles fournissent effectivement la représentation cherchée.

Parmi les quatre systèmes de valeurs de a, ^, y déterminés par les équations (35), choisissons le suivant, par exemple

L'équation différentielle (34) admet plusieurs solutions particulières, parmi lesquelles nous distinguerons les suivantes

/3-x ; Ôi = ^'-YF(«-+-i-ï, P-+-t-ï, 2-Y, -), '^ 03=F(a, ?, anhp^i-Y. i-^).

V 04=(i-^)Y-=c-pF(Y-a, Y-?, Y-+-'~a-P> i--^),

(•) IvuMMER, Ueber die hypergeometrische Reihe {Journal de Crelle, t. XY,

GocRSAT (E.), Sur l'équation dijférentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéométrique {Annales de l'École Normale, a« série, Supplément au t X; i88i).

OÙ le symbole F désigne la série hypergéoméiriquc de Gauss. Si Ton convient que les argumenls de z et de i — :; seront pris égaux à zéro quand la variable z sera réelle et comprise entre o et i, ces intégrales seront déterminées sans ambiguïté pour toute la région supérieure du plan, et les formules que Ton trouvera aux pages 20 et 21 du beau Mémoire de M. Goursat permettront d'en calculer la valeur pour chaque point de cette région. Elles satisfont d^ailleurs, dans toute la région considérée, aux deux équations (que l'on trouvera à la page 28 de ce Mémoire)

où Ton a

I ' = r(2-Y)lVY--a- ^) ^ Vh. ^ Y) ^(^ -^ ?J- Y)

Ces points étant admis, désignons par G une constante réelle ou imaginaire et posons

Quand z varie entre o et i, le rapport jp est réel, l'argument

de Z est constant et égal à celui de ^* Le point Z décrit donc un

segment de droite OA (/Ig» 11). Si au contraire le point :; passe, par la partie supérieure du plan, aux valeurs comprises entre o et — 00, 6| reste réelle, l'argument de O2 devient égal à'::(i — y) ou TcX. L'argument de Z augmente donc de izkf et, comme il demeure encore constant, le point Z décrit un segment OB ayant son origine en O et faisant avec OA l'angle )vT:.

Supposons maintenant que z passe, par la région supérieure du plan, aux valeurs comprises entre i et -h oc. L'intégrale O3 est réelle. Quant à l'intégrale 0», elle est imaginaire et, comme l'argument de I — z devient égal à — t:, celui de l'intégrale est

Si donc on pose

igO LIVRE II. — CHAP. IV.

la variable T sera réelle. En divisant membre à membre les deux équations (38), on aura

~ 'â^be-'V-'^T '

Si l'on change î en — i et si Ton désigne par Co, Z© les imaginaires conjuguées de C et de Z, on trouvera

(4l) ^'=7Ti--

II ne reste plus qu'à éliminer T entre les deux équations précédentes et l'on obtient Téquation

(a'6'GCoZZo-+-a^)(i — e»'>«)

-+- CZ{ba'e^'V-^— ab' ) -^ CoZo(a6'e»'>i^- ba') = o,

qui représente Tare de cercle passant par les points A, B et décrit

par le point Z quand z varie entre i et -h oo.

La puissance t^ de l'origine par rapport au cercle précédent a

pour expression

j ' ^^ ^ ~ G Gô ^7/

ou, en remplaçant «, 6, a', b' par leurs valeurs,

Le calcul de cette puissance f^ offre de l'intérêt; car, si elle est positive, il y aura un cercle décrit de l'origine comme centre et coupant à angle droit le côté AB, c'est-à-dire un cercle orthogonal aux trois côtés du triangle OAB. Si, au contraire, elle est négative, il n'y aura pas de cercle réel satisfaisant à ces conditions.

REPRESENTATION CONFORME DKS AIRES PLANES. Kjl

Comme les arguments des fonctions F qui figurent dans la formule précédente sont tous supérieurs à — i, ces fonctions auront le même signe que les variables dont elles dépendent. On reconnaît ainsi que la puissance t^ sera négative, si Ton a

c'est-à-dire si les angles du triangle OAB satisfont à toutes les relations d'inégalité qui existent entre les angles d'un triangle sphérique. Au contraire, la puissance t^ sera positive si les inégalités précédentes ne sont pas toutes vérifiées. Ce résultat est bien conforme à celui que donne la Géométrie : pour qu'un triangle formé par trois arcs de cercle soit la projection stéréograpliique d'un triangle sphérique, il faut et il suffit, comme on sait, que le cercle orthogonal aux trois côtés du triangle soit imaginaire.

Si, au lieu de la variable Z définie par la formule (4o)î nous

avions choisi la suivante

«, fc, c, d désignant des constantes quelconques, nous aurions obtenu, au lieu du triangle OAB, un triangle ayant les mêmes angles, mais dont les côtés auraient été, en général, des arcs de cercle; car il se déduit du triangle OAB par une transformation circulaire quelconque.

Supposons que les angles )v, tji, v satisfassent aux relations d'inégalité (4-^) et prenons pour le module de C la valeur

/2 deviendra égal à — i et les trois côtés du triangle OAB seront orthogonaux au cercle de rayon i ayant Torigine pour centre. On sait que, dans ce cas, les trois côtés peuvent être considérés

comme la projection stéréograpliiqiie de trois arcs de grand cercle tracés sur la sphère de rayon i ayant Torigine pour centre. Si donc on représente, suivant la méthode de Riemann indiquée au n** 30, la variable Z par un point de cette sphère, les résultats précédents donnent la représentation conforme de Taire d'un triangle sphérique sur la partie supérieure du plan. Le sommet de ce triangle qui correspond à l'angle 'i.iz est placé au point le plus bas de la sphère et diamétralement opposé au pôle de la projection stéréographique.

DU SYSTÈME ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE. IqS