DU SYSTÈME ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE

ÉquatioQ difTérentielIe des lignes de courbure. — Application à la surface j7«y»2f = C. — Formules d'Olinde Rodripues. — Keprésentation sphérique de Gauss. — Équation linéaire dont les caractéristiques sont les lignes de courbure. — Lignes de courbure des cyclides. — L'inversion conserve les lignes de courbure. — Théorème de Dupin relatif aux systèmes triples orthogonaux.

137. Les propriétés des systèmes orlhogODaux et isothermes ne dépendent que de la forme de Télément linéaire et se conservent quand on déforme la surface sans altération des longueurs des arcs. Il n'en est plus de même pour le système orthogonal qui est formé par les deux familles de lignes de -courbure. Mais ce système se distingue de tous les autres par une propriété essentielle; il est à la fois orthogonal et conjugué, il a un rôle extrêmement important dans l'examen d'un grand nombre de problèmes relatifs à la théorie des surfaces et, à tous ces points de vue, il mérite que nous en fassions dès à présent une étude assez détaillée.

Une ligne de courbure peut être, on le sait, définie par cette propriété que les normales à la surface en ses différents points forment une surface développable. L'arête de rebroussement de cette développable est évidemment une des développées de la ligne de courbure, le point de contact de chaque normale avec l'arête de rebroussement est le centre de courbure principal correspondant à la ligne de courbure considérée. Nous allons indiquer d'abord comment on obtient Téquation différentielle des lignes de courbure.

138. Soient x^ y, z les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la surface considérée, m, (^, w des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale en ce point. Les coordonnées X, Y, Z d'un point quelconque de la normale auront

pour expressions

uXy Y = y -t- çXj Z — Z -h W^^y

)w étant une arbitraire dont la variation donnera tous les points de la normale. Exprimons quUl existe un déplacement pour lequel ce point décrit une courbe tangente à la normale; nous aurons les équations

d(x-^-ul) rf(y-^vl) fi(z

ou, plus simplement, en retranchant cTk des trois rapports égaux,

dx -■- X du dy -\- X dv dz -{-\ dw u V ~~ w

L'élimination de \ nous donnera Téquation différentielle

dx du u dr dv V dz dw w

qui est celle des lignes de courbure. En la développant, on trouve ( 4 ) du{v dz — w dy)-\- dv{%v dx — u dz) -^ dw {u dy — v dx) = o.

Cette équation détermine les directions des deux lignes de courbure qui passent en chaque point de la surface; les formules (a) feront connaître la valeur de \ relative à chaque ligne de courbure, et le centre de courbure correspondant sera alors défini par les formules (i).

139. On est encore conduit à Téquation (4), si l'on emploie une autre méthode qui repose exclusivement sur Temploi des coordonnées de la normale. On sait que Pliicker a considéré la ligne droite comme un élément de l'espace et qu'il l'a définie, comme on le fait pour un point ou un plan, par des coordonnées. Nous allons indiquer le système de détermination qui conduit aux calculs les plus symétriques.

Soient

^ bz — c)' -*-«' — o, ( ex — a z -:-(/ — o

DU SYSTÈME ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE. igS

les équations d'une ligne droite. On pourra joindre à ces équations la suivante

(5') ay — 6a?-+-c' = o,

pourvu que d soit déterminé par l'équation (6) aa' -h 66' H- ce' = G.

Les équations (5), (5') représentent les projections de la droite sur les trois plans coordonnés. Cette droite est parfaitement déterminée quand on connaît les six quantités a, a', 6, h\ c, d \ nous dirons que ces six quantités, qui doivent toujours satisfaire à la condition (6), sont les coordonnées homogènes de la ligne droite.

Supposons que ces six coordonnées soient des fonctions données d'un paramètre; la droite engendrera une surface réglée. Pour que cette surface soit développable, il faudra qu'il existe une courbe tangente à toutes les positions de la droite; en d'autres termes, il faudra que l'on puisse déterminer les coordonnées j:,^', z d'un point variable vérifiant les équations de la droite et satisfaisant aux conditions

dx dv dz a ^ b c

Si l'on différentie les équations (5) et (5') en tenant compte des relations précédentes, on trouvera que les coordonnées x^ y^ z doivent vérifier les trois équations

z dh — y de -+- da! = o, ( 7 ) i X de — zda '\' dh> = o,

)z au — X de — ( y da — X db -\- de' = o,

qui ne contiennent pas ûte, dy^ dz. Si on les ajoute après les avoir multipliées respectivement par rf«, dbj dc^ on obtient la condition

(8) da da' -f- db db' -r- de de' = o,

à laquelle doivent satisfaire les différentielles des coordonnées. On démontrera aisément que cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante; et, quand elle sera remplie, les formules (5) et (7) feront connaître, pour cliaque valeur de la variable indé-

li/j LIVRE 1 1. — cil AP. V.

pendante, le point de contact de la génératrice avec Taréte de rebrou-ssement.

Dans le cas qui nous occupe les équations de la normale sont

Par conséquent, les six coordonnées de la normale sont i/, r, iv et les quantités u'y k'\ iv' définies par les égalités

vz — ivy -\- u' = o, (i)) \ wx — uz H- v' = o,

UJ' — VX -+- iv' = o.

La condition pour que la normale engendre une surface développahle sera donc exprimée par Téquation

( l(>) du du' -+■ dv dv' ■+■ dw dw' = o,

(pic Ton reconnaîtra facilement être équivalente à Téquation (4).

1 10. Proposons-nous, pour donner une application de la méthode précédente, de déterminer les lignes de courbure de la surface

^u) x"*y^zP = G,

où tn, Ht />, C* !>ont des constantes quelconques. LVquation différenliellc de lu surface sera

d.r dv dz

\vis lorniules (i) deviendront ici

. mX -. /lÀ />X \ .1 % i^r , Z = z — y

v\ \cs étpiations ^•j|^ nous donneront

./,, ( A •'■- ^ dy { À - ^* I tfz ( >. -^ ~ )

Si nou> sub>liluons les \aleurs de c/.r. </r, Jz dans IVqualion dilVerenlielle île la >uifaie, nous uurons IVqualion du second