AH AH- =^ AH

qui, jointe à Téquation diflTérentielle de la surface, déterminerait les rapports de dx^ dy^ dz. Ainsi, pour obtenir les équations différentielles des deux familles de lignes de courbure, il suffira de remplacer successivement, dans Téquation (i4)) ^ par les deux racines de l'équation (i3).

Ce point étant admis, l'intégration est facile. Multiplions en effet Téquation (i4) par n et ajoutons-lui Téquation (i3) multipliée par dk. Nous obtiendrons ainsi une différentielle exacte

c?/nL^XH- -Jh-aiL^Xh--)h-/>L(Xh j=o,

et, en intégrant, naus aurons

<-) "■(*-sr(»-?)"(*-7)''

u désignant le paramètre de la ligne de courbure. Il faudra, pour obtenir les deux familles, remplacer successivement \ par les deux racines de Téquation (i3). Si Ton remarque maintenant que cette équation (i3) s'obtient en égalant à zéro la dérivée de Téquation (i5) par rapport à X, on sera conduit au théorème suivant :

Si, dans V équation (i 5), o/i considère u comme une constante et \ comme un paramètre variable, les enveloppes des sur/aces représentées par cette équation, correspondantes aux diverses

IQS livre II. — CHAP. V.

valeurs de u, coupent la surface proposée suivant ses lignes de courbure.

On voit que ces lignes de courbure seront algébriques toutes les fois que la surface proposée le sera, c'est-à-dire toutes les fois que m, n, p seront commensurables. On reconnaîtra de plus, par un calcul facile, que la famille de surfaces représentée par l'équation (i i) dans laquelle on donne à G toutes les valeurs possibles, et les deux familles d'enveloppes dont ilest question dans l'énoncé précédent forment un système triple orthogonal (*).

Supposons, par exemple, que l'on prenne

L'équation (i i) prendra la forme

L'équation (i3) admettra pour racines

il en résultera, pour //, les deux valeurs suivantes

(17) y/î? = y/j:2 -+- j-î -i- yjz^ -+-7*,

(18) v^i?'= /-* -+- 07* — /i'H^'jK*.

Les surfaces représentées par ces deux dernières équations sont les lieux des points tels que la somme ou la différence de leurs

(») Dans son Mémoire sur les surf aces orthogonales, inséré en 1847 au Journal de Liouville {i'* série, t. XII, p. 246), M. J.-A. Serret, développant une remarque de M. Bouquet, a montré, le premier, que les surfaces représentées par l'équation (11) constituent une des familles d'un système triple orthogonal et il a indiqué les moyens de détermmer les deux autres familles qui complètent le système. Mais il n'a développé les calculs que dans les deux cas

/n — I, n — if /? = ', et /n = i, 71 = 1, p= — i.

La méthode suivie dans le texte est exposée, avec les généralisations qu'elle comporte, dans un Mémoire sur la Théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux publié par l'auteur {Annales de l'École Normale supérieure, 2* série, t. VII, p. 227; 1878).