INTÉGRATION DU 8T8TÉ1IB LINÉAIRE
valeurs réelles ou imaginaires de a, p, y, vérifiant le système (i). Remarquons même que, lorsque/», q^ r seront des fonctions réelles, il suflira de connaître une solution particulière cde réquation(i i) pour en déduire une solution (a, p, y) du système proposé. En effet, désignons par ^ Fimaginaire conjuguée de o*. Je vais montrer que > est encore une solution particulière de l'équation (i i).
Pour cela changeons / en — i dans cette équation, nous aurons
— - - -h ir^' -\- ^ -+- a'»
dt 2 2
et, par conséquent,
Il suffît de comparer à Féquation (i i) pour reconnaître que ;
est bien une solution particulière de cette équation.
16. L'équation en 9- appartient au groupe des équations de la
. n. X dv .
(i3) ^ = a -f- 26(j H- cd*,
où a, 6, c sont des fonctions quelconques de t. Ce sont les plus simples après les équations linéaires. Comme on les rencontre fréquemment dans les applications, on leur a donné le nom de Riccatî, parce qu'elles comprennent comme cas particulier l'équation
ai
qui, seule, a été l'objet des recherches di| géomètre italien. Nous allons rappeler rapidement leurs principales propriétés.
D'abord, elles ne changent pas de forme quand on effectue sur 0' une substitution linéaire, c'est-à-dire quand on substitue à 7 la variable X définie par l'équation
Pcr-Q
où P, Q, R, S sont des fonctions quelconques de t.
En second lieu, on peut les intégrer dès que l'on en connaît
24 LIVRE I. — GHAP. II.
une solution particulière. Soit, en effet, o- = o-q une telle solution. Posons
et nous obliendrons pour X l'équation linéaire
(li) ^= — c — a(c(Jo-+-6)^,
dont l'intégration exigera seulement deux quadratures effectuées successivemenl.
De là résulte une des propriétés fondamentales de l'équation de Riccati. Comme la valeur générale de X est linéaire par rapport à la constante arbitraire G et de la forme
on voil que l'intégrale générale de l'équation de Riccati sera de la
RC-^S
P, Q, R, S étant des fonctions de la variable indépendante de l. On déduit de là que le rapport anharmonique de quatre soinlions de V équation est constant et égal à celui des quatre valeurs de la constante arbitraire correspondantes à ces solutions.
17. Si donc on connaît trois solutions particulières 0*0, ^'i^^'a» l'intégrale générale sera donnée par la formule
: ■ = Li,
qui ne contient aucune quadrature.
Si l'on connaît seulement deux solutions o-^, T|, une seule quadrature suffira. Voici le procédé le plus rapide pour obtenir la solution. Posons
on aura
1 É?X __ I /(il rfdoX i [ d^ d^\\
\ dt ~ d — do \^^ dt / d — ^i\dt dt )
INTÉGRATION DU SYSTÈME LINÉAIRE. l5
OU, en remplaçant-^» —^y -~ par leurs valeurs tirées de l'équation (i3),
X s'obtiendra donc par une simple quadrature, et l'on aura
C désignant une constante arbitraire.
L'équation de Riccati possède donc une des propriétés fondamentales des équations linéaires et la connaissa^nce de chaque solution particulière permet de faire un pas vers la solution générale. Et, en effet, il est aisé de ramener son intégration à celle d'une équation linéaire du second ordre.
Voici le procédé qui nous paraît le plus élégant pour démontrer celte dernière proposition.
