CHAPITRE I

L'équation aux dérivées partielles de Lagrange. — Mémoire de Mcusaier sur la courbure des surfaces. — Premières recherches de Monge. — Méthode rigoureuse de Legcndre. — Détermination de quelques surfaces minima nouvelles, par M. Scherk. — La surface minima réglée, le théorème de M. Catalan. — Recherches générales sur la théorie par MM. O. Bonnet, Catalan et Bjoriing.

17o. Avant de continuer Fexposition des théories générales, nous allons faire une application étendue des méthodes et des résultats développés dans les deux Livres précédents. Nous avons choisi les surfaces minima dont l'étude présente un intérêt véritablement exceptionnel; car elle louche à la fois au Calcul des variations, à la Physique mathématique et à la Théorie moderne des fonctions.

Dans le célèbre Mémoire intitulé : Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, qui est inséré dans le t. II des Miscellanea Taurinensia, années 1760-61 (*), et qui contient les principes de son Calcul des variations, Lagrange, après avoir généralisé les résultats obtenus par Euler relativement aux intégrales simples, se propose de montrer, dans TAppendice I, que sa méthode s'applique aussi aux intégrales doubles; et il choisit comme exemple celle qui exprime l'aire d'une portion de surface rapportée à des coordonnées rectangulaires

j j dxdy^i-\-p^-^qK

(') Voir aussi Œuvres de Lagrange, t. ï, p. 335.

Il trouve ainsi que la surface minima passant par un contour donné doit satisfaire à Téquation

« Le problème se réduit donc, dit-il, à chercher/? et q par ces conditions que

p dx — q dy et ^ -^ ^

soient des différentielles exactes.

» Il est d'abord clair qu^on satisfera à ces conditions, en faisant p et y constantes, ce qui donnera un plan quelconque pour la surface cherchée ; mais ce ne sera là qu'un cas particulier, car la solution générale doit être telle que le périmètre de la surface puisse être choisi à volonté. »

Lagrange se contente des remarques précédentes; car le but unique de son admirable Mémoire était la formation des équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les courbes et les surfaces qui donnent la solution des problèmes posés; et il termine l'Appendice consacré aux intégrales doubles en donnant l'équation aux dérivées partielles de la surface dont Taire est minimum parmi relies qui circonscrivent des solides égaux.

La théorie si simple et si féconde que Lagrange avait substituée aux méthodes d'Eulerne fut pas immédiatement acceptée par tous les géomètres. En 1 767, Borda fit imprimer, dans les Afémoires de r Académie des Sciences, un travail intitulé : Éclaircissement sur tes méthodes de trouver les courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou de minimum, et il crut faire une œuvre utile en démontrant par une voie nouvelle, et sans rien lui ajouter, Ir résultat de Lagrange.

176. C'est dans un beau Mémoire de Meusnier (*) qu'est commencée, et de la manière la plus heureuse, l'étude de l'équation

(') Mémoire sur la courbure des sur/aces par M. Mecsnier, Lieutenant en premier, surnuméraire au corps royal du Génie, Correspondant de TAcadémie, lu les 1 4 et 21 février 1776 {Mémoires des Savants étrangers, t. X, p. 477; 1785).

aux dérivées partielles de Lagrange. Ce travail contient une théorie nouvelle de la courbure qui, à tous égards, aurait mérité d'être conservée à côté de celle d'Euler ; Meusnier, après avoir rappelé qu'Euler avait publié en 1761, dans le Recueil de TAcadémie de Berlin, le Mémoire qui contient les propositions devenues classiques sur la courbure des sections normales faites en un point donné d'une surface, ajoute que « l'on peut présenter la question sous un autre point de vue en la faisant dépendre d'une propriété intéressante, savoir qu'il existe une génération qui convient à tout élément de surface ».

La génération dont veut parler Meusnier, et qu'il développe avec précision dans le cours de son travail, est la suivante : on peut, en négligeant seulement les infiniment petits du troisième ordre, considérer tout élément de surface dans le voisinage d'un point donné, comme engendré par la rotation infiniment petite d'un petit arc de cercle autour d'un axe situé dans son plan et parallèle au plan tangent de cet élément. Il nous est aisé, aujourd'hui, de retrouver les propositions de Meusnier et de nous rendre compte de sa méthode. Si, en efi^et, on considère {^fig* i3) un point quelconque M de la surface et les centres de courbure principaux C, C relatifs à ce point, toute surface aura en M un contact du second ordre avec la proposée si elle admet en M les mêmes directions principales Mar, Mj', et si, de plus, elle a les mêmes centres principaux correspondants aux deux directions principales. Si donc on veut obtenir un tore ayant un contact du second ordre avec la sphère donnée, ce tore devra admettre comme cercle générateur, soit le cercle principal de centre C et de rayon CM décrit dans le plan CM a:, soit le cercle de centre C et de rayon CM décrit dans le plan C'Mj'. De plus, si l'on considère, par exemple, le premier cercle décrit dans le plan CM x, le second centre de courbure principal devra se trouver sur l'axe du tore. Cet axe sera donc assujetti à la double condition de passer par le point C et de se trouver dans le plan CMx. En raisonnant de même pour le second centre de courbure, on reconnaît qu'il y aura deux séries de tores osculateurs en M; tous les tores d'une même série auront un même cercle générateur, décrit dans l'un des plans principaux ayant pour centre le centre de courbure relatif à ce plan ; leurs axes, tous nécessairement situés dans ce plan, passeront par l'autre centre de

courbure. Le mode de génération considéré par Meusnier revient à substituer à la surface dans le voisinage du point M le tore osculateur particulier dont Taxe est parallèle au plan tangent; les axes des deux tores qu^il obtient ainsi sont les droites D et A que M. Mannlieim a retrouvées et introduites récemment avec succès dans la théorie de la courbure des surfaces. On s'explique aussi, par les remarques précédentes, comment Meusnier, en partant d'un point de vue tout à fait différent de celui d'Euler, est conduit néanmoins à considérer les mêmes éléments géométriques.

Fi g. i3.

ti,

fc^

Comme application de sa méthode générale, Meusnier détermine d'une manière très exacte la surface dont tous les points sont des ombilics et il cherche à établir parla Géométrie Téquation aux dérivées partielles des surfaces minima. Par des raisonnements, qui sont à la vérité peu satisfaisants, il est conduit à cette condition que la somme des rayons de courbure principaux doit être nulle en choque point de la surface. C'est donc dans le Mémoire de Meusnier qu'apparaît pour la première fois l'interprétation géométrique de Féquation de Lagrange.

Pour trouver des surfaces satisfaisant à cette équation

Meusnier remarque que, d'après un résultat déjà donné par Monge, l'équation

(a) q^r — 7.pqs -Jf p^ t — o

est celle des surfaces engendrées par une droite parallèle au plan

RÊSVllé HISTORIQUE. 27I

des XV. En Tadjoignant à l'équation (i), ce qui donne (3) r-+-/ = o,

on aura, s'il en existe, les surfaces minima engendrées par une droite parallèle à un plan. L'intégration simultanée des équations (2) et (3) conduit ainsi l'auteur à l'hclicoïde gauche à plan directeur.

Enfin Meusnier détermine la surface minima de révolution, et il démontre qu'elle est engendrée par la rotation d'une chaînette autour de sa base. On voit que son travail a fait connaître, en même temps que l'interprétation géométrique de l'équation de Lagrange, deux surfaces minima qui sont, aujourd'hui encore, au nombre des plus intéressantes et des plus simples. La méthode par laquelle est obtenu l'hélicoïde est féconde et a été souvent appliquée à la recherche de solutions particulières des équations aux dérivées partielles.

177. C'est dans son Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles [Mémoires de V Académie Royale des Sciences pour 1784, p. 118) que Monge s'est occupé pour la première fois des surfaces minima et de l'intégration de l'équalion aux dérivées partielles de Lagrange. Monge commence par intégrer exactement l'équation différentielle des caractéristiques, ce qui est le point essentiel; mais il commet ensuite quelques erreurs de raisonnement qui le conduisent à présenter la solution sous une forme inacceptable; car les coordonnées rectangulaires x^ y^ z sont exprimées en fonction de deux paramètres a, a' par des quadratures de la forme

011 M, N sont des fonctions de a et de a' ne satisfaisant pas à la condition d'intégrabilité.

Les erreurs commises par Monge pouvaient être facilement corrigées et, en effet, dans un beau Mémoire sur Vintégration de quelques équations aux dérivées partielles {Mémoires de V Académie des Sciences, 1787, p. 809), Legendre, après avoir signalé les objections que l'on doit adresser à la méthode

272 LIVRE m. — CHAP. I.

primitive de Monge, ajoute ces quelques mots : Depuis « ses recherches l'ont conduit à la vraie intégrale qu'il a bien voulu me communiquer avec le procédé qu'il avait suivi ; mais ce procédé tenant à quelques principes métaphysiques dont les géomètres ne conviennent pas encore, j'ai été curieux de chercher la même intégrale par la voie ordinaire, et j'y ai été engagé par M. Monge luimême. On verra que j'y suis parvenu fort simplement par un changement de variables qui peut être utile dans d'autres occasions et que j'appliquerai même à des équations plus générales. )>

Les (( principes métaphysiques » dont il est question dans ce passage sont sans doute les idées de Monge sur la génération des surfaces par la méthode des enveloppes, idées qu'il a développées d'une manière systématique dans V Application de l'Analyse à la Géométrie. Nous avons peine aujourd'hui à les comprendre, sinon dans leur esprit, au moins dans leur enchaînement et dans leurs détails. Il ne faut donc pas s'étonner que le procédé nouveau de Monge, qui coïncide sans doute avec celui qu'il a fait connaître plus tard dans son Ouvrage, ait donné naissance à de sérieuses objections (*).

178. La méthode de Legendre est élégante et irréprochable. Elle consiste à remplacer les variables x, ^v, z par />, q et

s,=px — qy—z,

en considérant \r comme une fonction de p et de q\ ce qui revient, suivant une remarque de M. Chastes, à substituer à la surface sa polaire réciproque par rapport à un paraboloïde.

Legendre etTectue la transformation de variables d^une manière très élégante. Il substitue aux deux expressions de Lagrange

qdx — p dr p ilx — q dw >

Si nous aou5 rxrportons a une iadication donatc ea iS3j par Poisson dans utM* Note Uv< ov'»urte que nous citons plus loin ^p. -270]. ces objections auraient ete tormalee$ par LapUce et auraient donné naissance à de longues discussions entnr les deu\ £raad> iêoaiètres.

qui doivent être des différentielles exactes, les suivantes

X dp -T-y dq = dv,

^^( g ]-yd( , ^

et tout se réduit à écrire que l'expression

^^- d( ^ \ — — di ^ \

est une différentielle exacte. On a ainsi l'équation linéaire qui, jointe aux suivantes,

dv âv âv as?

suffit à déterminer complètement la surface.

L'équation (4) est de celles qu'il est possible d'intégrer par l'application des méthodes régulières ; on peut obtenir les équations en termes finis des caractéristiques etappliquer ensuite la méthode de Laplace. Mais Legendre abrège beaucoup les calculs en formant l'équation

à laquelle satisfont x^ y^ z considérées comme fonctions de p et de gr; on pourra lire l'exposition complète de cette méthode dans le grand Traité de Calcul différentiel et intégral de Lacroix, (2^ édition, t. II, p. 625).

Nous devons remarquer que Legendre, après avoir donné les formules dont il devait la connaissance à Monge, fait connaître de nouveHes formules entièrement débarrassées de tout signe d'intrgration, et qui auraient pu servir de base à une élude fructueuse des surfaces minima.

179. La méthode d'intégration donnée par Monge dans Y Application de U Analyse à la Géométrie n'est pas la seule que D.— r. 18

nous lui devions; le Traité de Lacroix en contient une autre qui repose sur une idée très ingénieuse et très féconde : elle consiste à transformer une équation aux dérivées partielles en considérant les trois coordonnées x^ y^ z comme des fonctions de deux paramètres a et b. L'équation des surfaces minima prend ainsi la forme

,., , I dx àx ày ày dz àz\/., à^x ^r à^Y ^ <^'^

f^bjy âaôb âadb'^ ôaObJ

\da db da db ' ôa dxY fàvY fàz\^^/ ^ô^T ^d^Y r^à^s\

X, Y, Z étant les cosinus directeurs de la normale déterminés par les équations

( \ î^ i Y ^^ Z ^^ — ] ^ da àa da ~ ^

\ dx dy àz

et Monge remarque qu'on peut y satisfaire en prenant

/dxY /àrY /dz\i

/Ar\î /àr\t /àzY \ôb) ^[tb) -^{ùb) ="•

^^- dâôb ^ ôâ~db ^ ôcTôb ^ *^'

ce qui donne

X = A,-^ Bi,

y = As-^Bs,

A,, Ao, A3 étant des fonctions de a et B,, B2, B3 des fonctions de 6, assujetties à vérifier les conditions

( dBl -i- dBl -^ dBl = o.

Mais il est clair que cette méthode si élégante est encore sujette à des objections -, car, si Ton prend pour a et b les paramètres des

RÉSUMÉ HISTORIQUE. ^y5

lignes de longueur nulle, l'équation (6) donne simplement

^ ôadb da ôb âa ôb '

et non les trois équations (9).

180. La méthode de Legendre et celle d'Ampère donnée en i8'.>.o dans le XVIIP Cahier A\i Journal de V École Polytechnique ont été pendant longtemps les seules conduisant sans objection possible à l'intégrale dont la découverte constitue un des plus beaux titres de Monge à notre admiration.

Si on laisse de côté certaines surfaces imaginaires trouvées par Poisson (*), on n'a connu, depuis 1776 jusqu'en i83o, que les deux surfaces minima obtenues en premier lieu par Meusnîer. Pendant longtemps on n'a fait aucun usage de l'intégrale de Monge et, dans un article de deux pages qui n'était pas de nature à encourager les géomètres (2), Poisson déclarait en i832 que « malheureusement on ne saurait tirer aucun parti de cette intégrale qui se trouve compliquée de quantités imaginaires et exprimée par le système de trois équations entre deux variables auxiliaires et les coordonnées courantes de la surface ».

Deux ans après, en i834, paraissait dans le Journal de Crelle un travail de M. Scherk(^) qui ajoutait des résultats importants à la théorie des surfaces minima et contenait les premiers exemples de surfaces minima déduites de l'intégrale de Monge et de Legendre.

L'auteur rentre d'abord dans la voie ouverte par Meusnier; il décompose Téquation aux dérivées partielles de Lagrange en deux autres qui auront des solutions communes. C'est ainsi qu'en

(*) Poisson, Remarques sur une classe particulière d'équations aux différences partielles à trois variables {Correspondance de l'École Polytechnique,

t. Il, p. 4'o; i8i3).

(') Poisson, Note sur la surface dont l'aire est un minimum entre des limites données {Journal de CrellCj t. VIII, p. 36 1 ; 1882).

(') H. -F. ScHERK, Bemerkungen ûber die kleinste Flàche innerhalb gegebener Grenzen {Journal de Crellè, t. XIII, p. i85). Ce travail est la suite et le complcment d'un Mémoire couronné par la Société des Sciences de Leipzig et inséré dans le tome IV des Acta Societ, Jablonovianœ, p. 204-280.

ir^ LIVBE III. — CHAP. U

:^ Il p posant

il est conduit ^ la ior&ce •iéfinie par l'équadon

En prenant les coordomiéeâ âexni-polaires z. z, 4 et en sappO!§ant

'fs 'A

il obtient tous les hêlicoîdes qui sont des snrlaces minioia: lis sont déterminés par T équation

lia- i = 6 loîî V -* — <** — V 2* — ^* I — <* *rc tan^ " — a^ — e,

où a. 6. c âont trois constantes cpielconqnes « ' >. et ils comprennent comme cas particoliers à la tbis fal^rsséide et Thélicoîde à plan directear. qui correspondent respectivement aux hjupothèses a = o et é = o. L'auteur montre quelles ^laleurs on devra attrîbner au-x fonctions arbitraires qui entrent dans les formules de Monge pour retrouver les sur&ces précédentes. Mais de plus, et c'est là l'un des principaux mérites de son travail, il déduit par Tnnique emploi de ces formules des sortes nouvelles, assez compliquées mais réelles. A la fin de son étude, il se propose, mais âdn:^ v réussir complètement^ de déterminer toutes les surfaces minima engendrées par le mouvement d'une li^ne droite. Cette question, dont nous avons déjà donné une solution < n** Il u a été résolue pour la première fois par M. Catalan ^* ) qui a prouvé que

( * ) En applitjaant les m^tholes Ja n* 73 à ces h^IicoiJes oa truoTc que leur él4>meiit linéaire a pour expre^éioa

T<>nfi eeox pour I^^iaels la somme a* -i- 6* est la mène sont dooc applicables les OA4 SOT le^ a aires.

(* f C4TAL4!f, Sur tes sur/€tces régîtes domi l'aire est un miMimmm (Journal de /JouvilU, I" série, t. VII. p. loli ^^2). Voir aussi J.-A. Scmarr. .Xote'sur ^a nur/tuce re^l te don le* rayons de courbure principaux sont égaux et dirigés en sens contraire (JourncU de Liouville, t. \I, p. \hi', 1846 i.

la seule surface minîma réelle engendrée par le mouvement d'une ligne droite est ThéHcoïde à plan directeur. On peut la rattacher d'ailleurs à une proposition plus générale obtenue ultérieurement par MM. Beltrami et Dini ( * ) et d'après laquelle les seules surfaces réglées pour lesquelles il existe une relation entre les deux rayons de courbure sont des hélicoïdes.

181. Nous laisserons de côté différentes recherches que nous aurons l'occasion de signaler au cours de celte étude et nous passerons immédiatement à une courte Note de M. O. Bonnet insérée en i853 dans les Comptes rendus (^) et qui contient des résultats de la plus haute importance pour la théorie des surfaces minima. L'éminent géomètre y indique un système nouveau de formules relatives à la théorie générale des surfaces. On peut caractériser la méthode de M. O. Bonnet et en même temps rendre compte des avantages qu'elle présente, en remarquant que les variables employées pour la représentation analytique de la surface constituent un système de coordonnées tangentielles. Or les développements donnés dans le Livre précédent nous montrent que, si les coordonnées tangentielles jouent le même rôle que les coordonnées ponctuelles dans la théorie des systèmes conjugués et des lignes asymptotiques, elles donnent naissance à des calculs et à des propositions plus simples dans l'étude des questions relatives aux lignes de courbure. Les variables choisies par M. Bonnet sont les suivantes : Étant donnés une surface (S) et un point M de cette surface, le plan tangent est déterminé par sa représentation sphérique m sur la sphère de rayon i et par sa distance au centre de cette sphère; quant au point m de la sphère, il est déterminé par sa longitude ç et sa colatitude 6. L'équation du plan tangent s'écrit alors

(i3) X sinO coscp -h Y sinO sincp -h Z cosO -f- o = o

(') Beltrami, Risoluzione di un problema relativo alla teoria délie superficie gobbe {Annales de Tortolini, t. VII, p. io5; i865).

Dini (U.)» Sulle superficie gobbe nelle quali uno dei due raggi di curvatura principale è una funzione deW altro (même Volume, p. 2o5).

(») O. BoxNET, Note sur la théorie générale des surfaces {Comptes rendus, t. XXXVII, p. Ô29; i853).

mais Tau leur transforme cette équation en introduisant à la place de 0 et de f les variables isothermes

sine ■■•^' ?-^» 5i„Q

et elle prend alors la forme

(i4) \cosx -T-Y sinx-^Zisïniy = z.

Ce ne sont pas, on le voit, les variables que nous avons considérées au Chap. VII du Livre précédent; mais la suite des calculs amène le savant auteur à introduire ces variables, très voisines des précédentes, au moins dans certaines applications. On pourra consulter, en particulier, le Mémoire sur l^ emploi d^ un no u^^eau système de variables dans r étude des propriétés des surfaces courbes inséré en 1860 dans le t. V (2* série) du Journal de Liouville^ qui contient le développement complet et systématique de la méthode de M. Bonnet et l'on trouvera à la page i83 de ce beau travail l'équation des lignes de courbure ramenée à la forme

simple

rd%^—t rfp* = o.

Les recTierches de M. Bonnet, avant d'être développées dans le Mémoire que nous venons de citer, ont été indiquées d'une manière très nette dans la Note de i853 et dans trois autres Notes insérées aux Comptes rendus (*). Elles ont réalisé, on peut le dire, un progrès décisif dans la théorie des surfaces minima. Elles ont donné l'équation intégrale sous une forme qui a permis d'obtenir toutes les surfaces réelles et un nombre illimité de surfaces algébriques; elles ont fait connaître surtout un grand nombre de proprié tés géomé triques communes à tou tes ces surfaces ; elles ont enfin fourni la solution complète du problème suivant qui est fondamental : Déterminer la surface minima passant

(') O. Bonnet, Sur la détermination des fonctions arbitraires qui entrent duns rcqiiation intégrale des sur/aces minima {Comptes rendus, t. XL^ p. II 07: i855). — Observations sur les surfaces minima {Comptes rendus y t. XLl, p. 1057; iS55). — JVouvelles remarques sur les surfaces à aire minima, {Comptes rendus, l. XLII, p. SSa; i856).

par une courbe quelconque et admettant en chaque point de cette courbe un plan tangent donné. Nous compléterons d'ailleurs, dans notre exposition, ces indications rapides.

La méthode de M. O. Bonnet est directe et indépendante de l'intégrale de Monge. Dans un travail (*) publié par extraits dans les Comptes rendus en i855, M. Catalan a fait connaître différentes transformations de cette intégrale et de l'équation aux dérivées partielles, qui l'ont conduit, en particulier, à un système de formules entièrement débarrassées d'imaginaires. 11 a aussi indiqué les moyens d'obtenir un nombre illimité de surfaces algébriques.

182. Dans ces derniers temps, M. Lie a appelé l'attention des géomètres sur des recherches qui, malgré l'intérêt qu'elles présentent, étaient restées ignorées. En i844> E.-G. Bjorling, professeur à l'Université d'Upsal, a inséré dans .les Archives de Grunert (t. IV, p. 290) un Mémoire de vingt-cinq pages intitulé : In integrationem œquationis derivatarum partialium superficiei cujus in puncto unoquoque principales ambo radii curvedinis œquales sunt signoque contrario. Ce travail mérite une analyse détaillée. L'auteur y reprend d'abord la méthode de Legendre; mais, en choisissant des variables nouvelles, il est conduit à l'équation

<J'to

f^ad^ a«— p'

'dài

23 diii

a«— fi» d^

qui est plus simple que celle de Legendre et qu'il intègre par l'application régulière de la méthode de Laplace. Il obtient ensuite des expressions très simples des coordonnées x, y, z en fonction des deux variables a et p, et de deux fonctions arbitraires. Puis il indique comment on détermine ces fonctions arbitraires de telle manière que la surface passe par une courbe donnée et y admette en chaque point un plan tangent donné. La solution de ce dernier problème, que Bjorling a eu le mérite de poser et de résoudre le

(') Une rédaction développée des recherches de M. Catalan a paru en i858 dans le XXXVII* Cahier du Journal de l'École Polytechnique sous le litre suivant : Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbure en ctiaque point sont égaux et de signes contraires.

28o LIVRE III. — GHAP. I. — RESUME HISTORIQUE.

premier sans en apprécier peut-être toute l'importance, est ramenée dans son Mémoire à la détermination d'une fonction dont la dérivée troisième est connue.

Bjôrling examine ensuite quelques autres problèmes qu'on peut rattacher au précédent, par exemple le suivant : Déterminer la surface minima qui coupe une surface donnée suivant une courbe telle qu^en chacun de ses points p et q soient des fonctionsdonnées à Va%^ance de x^ y^ z.

Le reste du Mémoire ne contient rien de nouveau.

183. Les importantes recherches de M. Weierstrass, publiées en 1866 (*), reposent sur l'emploi des formules de Monge, mises sous une forme extrêmement élégante, et qui paraît la plus commode dans les applications. M. Weierstrass a résolu, le premier, plusieurs questions essentielles : il a, en particulier, donné le moyen de trouver toutes les surfaces minima réelles et algébriques. Ses formules établissent de la manière la plus claire le lien qui existe entre la théorie des fonctions d'une variable imaginaire et celle des surfaces minima, puisqu'elles montrent qu'à toute fonction de l'argument imaginaire correspond une surface minima réelle. Mais, comme nous ferons connaître les recherches de cet illustre géomètre ainsi que les principaux travaux publiés depuis 1867, nous arrêterons ici cet exposé historique en signalant toutefois un Mémoire de M. Beltrami Suite propriété generali délie superficie d*area minima, inséré en 1868 dans le t. VII des Mémoires de l' Académie des Sciences de Bologne (2* série). Ce beau travail, sur lequel nous aurons à revenir, contient une Notice historique très étendue qui nous a permis, du moins nous l'espérons, de n'oublier aucun travail important publié sur notre sujet avant i86o. On consultera aussi avec le plus grand profit le Mémoire de M. Schwarz intitulé Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflâchen, inséré au tome LXXX du Journal de Crelle (p. 280, 1875).

( ' ) Weierstrass, Ueber die Flàchen deren mittlere Krûmmung ûberall gleich Null ist {Afonatsberichte der Berliner Akademie, pp. 612, 855; 1866). Ueber eine besondere Gattung von Minimalflâchen (même Recueil, p. 5ii ; 1867).