LES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES PONCTUELLES

Première condition à laquelle doit satisfaire la surface minima passant par un contour donné. — Intégration de l'équation aux dérivées partielles. — Formules de Monge. — Formules de Legendre ne contenant aucun signe d'intégration. — Double système de formules donné par M. Weierstrass. — Détermination de toutes les surfaces minima algébriques et réelles. — Relation entre la théorie moderne des fonctions et celle des surfaces minima.

184. Considérons une surface quelconque, ou plutôt une portion continue de surface (S) limitée par un contour, et proposonsnous de trouver la variation de Paire quand on passe à une surface infiniment voisine. Soient x^ y^ z les coordonnées d'un point de (S); c, c\ d' les cosinus directeurs de la normale en ce point. Nous prendrons pour coordonnées curvilignes a et p les paramètres des lignes de courbure de la surface. Alors, si Ton désigne par R, R' les deux rayons de courbure au point considéré, les formules d'Olinde Rodrigues nous donneront

dx , de dy „ de' dz , de"

---hR--=o, -^-hR— =0, — -f-R-— = o,

ou ou ou du du du

dx ^,dc dy de' dz ...de"

dv dv dv dv dv dv

On a d'ailleurs

/' de de de' de' de" de" \ du dv du dv du dv

dx dx dy dy dz dz __ f du dv du dv du dv ^

Nous poserons, pour abréger,

on aura évidemment

et Ton obtiendra pour Télénient linéaire de la surface (S) l'expression

Cela posé, considérons une surface (S') infiniment voisine de (S); la normale en un point M de (S) rencontre (S') en un point M'. Désignons par A la distance MM'; la surface (S') sera, évidemment, délinie si l'on donne "X en fonction de u et de i^, et les coordonnées X, Y, Z d'un point de (S') seront déterminées par les formules

X=ar-f-cX, Y =jr -^ c'\, Z = z -^ c'\,

qui donnent

' dX={X-ï{)^du-^iX-K)^dv -^cdk,

du ' Ov

(5) ( dY ^O — ^J — du^d- .K)^dv-^c'dl,

rfZ =(X - R)^- rfi^-^(X - R')^''^/!; -u c-rfX. ■ du ôv

On en déduit, pour l'élément linéaire de (S'), l'expression

(6) ds'i = (X — R)2e« du^ -f-(X — R' )«^« dv^ -h dX^

et, pour l'élément superficiel,

dvj^

eHX-R)»"^^»(X-R')*'

18»j. Supposons maintenant que l'on considère une portion de (S) limitée par un contour (C) et que l'on veuille comparer Taire de cette portion à celle d'une surface infiniment voisine (S') passant par le même contour. Alors X devra être une fonction infiniment petite s'annulant en tous les points de (C). L'aire de (2') sera représentée par l'intégrale double

-^-fM-i){-W - ^^.-^T^^wj-"'--

SURFACES IIINIMA. 283

étendue à toutes les valeurs de ?/, v correspondant aux points de (S) situés à l'intérieur de (G); et celte aire, développée suivant les puissances de la quantité infiniment petite qui entre en facteur dans X, pourra s'écrire

les termes négligés élanl du troisième ordre seulement. Si l'on fait X= o, on trouve l'aire de (S). L'accroissement de l'aire quand on nasse de (S) à (S') sera donc déterminé par la formule

au même ordre d'approximation que précédemment.

Il résulte immédiatement de là qu'il faut, pour qu'une surface soit minima, que la somme de ses rayons de courbure principaux soit nulle en chaque point. En effet, supposons qu'il en soit autrement et prenons pour X une expression de la forme

cp étant une fonction de w et de i' qui devra s'annuler en tous les points du contour (G) et m une constante infiniment petite. L'expression (9) de AS prendra la forme

AS = - mJ^jEG'^^f- -+- '^y du dv,

les termes négligés étant de l'ordre de m^. L'intégrale précédente n'est pas nulle, puisque tous ses éléments ont le même signe. Ou peut donc prendre m assez petit pour que les termes négligés, qui sont de l'ordre de m^, soient plus petits que le précédent et, par conséquent, pour que chaque élément de AS ait le signe de — m. En donnant à m le signe positif, on trouvera pour AS une valeur

^Si LIVRE III. — GlIAP. II.

négative; on obtiendra donc une surface dont Taire sera plus petite que celle de (S).

Ainsi la première condition pour que l'aire de (S) soit la plus petite possible est que la somme des raj'ons de courbure principaux soit nulle en chaque point de la surface, ou, ce qui est la même chose, que l'indicatrice soit partout une hyperbole équilatère. L'usage a prévalu d'appeler sur/aces minima toutes celles qui satisfont à cette condition; mais la méthode que nous avons suivie montre bien que, si elle est nécessaire, elle ne sera pas toujours suffisante. Faisons en effet R'= — R dans la formule (9) ; Texpression de AS deviendra

•le^ 1"^

les termes négligés étant du troisième ordre par rapport à X; et il faudra que Tintégrale double qui figure dans le second membre de cette formule soit positive quand on y substituera une fonction quelconque, assujettie seulement à s'annuler en tous les points du contour de (S). Nous reviendrons plus loin sur cette condition supplémentaire et nous nous attacherons d'abord à la déterminalion des surfaces pour lesquelles la somme des rayons de courbure est égale à zéro.

186. Nous venons de voir que l'on peut les définir encore en remarquant que l'indicatrice est une hyperbole équilatère ou que les lignes asymptotiques se coupent à angle droit. Il y a avantage à énoncer la propriété caractéristique des surfaces minima sous la forme suivante : Les deux familles de lignes de longueur nulle tracées sur la surface doivent former un réseau conjugué. On sait en effet que Thyperbole équilatère est la seule conique admettant pour diamètres conjugués les deux droites de coefficients angulaires H- i et — i.

Ce point étant admis, prenons comme variables indépendantes a et p les paramètres de ces deux systèmes de lignes de longueur nulle. Puisqu'elles forment un réseau conjugué, les coordonnées rectangulaires x^ j-, z seront trois solutions particulières d'une

SURFACES IlINillA. 285

équation de la forme

On aura donc

âoLd^ âOL <^fJ

d^x . âx ^dx

âoLâ^ da d^

d^z . dz ^dz

et de plus, par suite du choix particulier de a et de ^,

(la)

Les formules (i i) et (12) expriment évidemment toutes les conditions résultant, et de la définition de la surface, et du choix des coordonnées.

Or, si l'on différentie la première des équations (12) par nippon à P, la seconde par rapport à a, et que l'on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs tirées des équations (11), on trouvera

(dx ôx ày dy ^^ ^^\ k — 5Ï 5p "^ 5i 5p "^ 5i 5p/ ^ ^'

/ dx dx ày dy àz dz\

V5S" dp "^ 5S ^ "^ 5i 5?y ^ ^'

Comme on ne peut avoir

dx dx dy dy dz dz

sans quoi l'arc de toute courbe tracée sur la surface serait nul, il faut que A et B soient nuls; les équations (11) se réduiront aux suivantes

dont rinlégralion est immédiate et nous donne

Mais, pour que les équations (12) soient satisfaites, il faut que Ton ait

Les formules (i3) nous montrent que les surfaces ininima appartiennent à la grande classe des surfaces que nous avons déjà considérées (Liv. I, Ch. IX) et qui peuvent être engendrées de deux manières différentes par la translation d'une courbe. Nous reviendrons plus loin sur cette interprétation géométrique des formules (i3) et nous indiquerons tout le parti qu'en a tiré M. Lie.

187. Comme on peut, sans changer le système de coordonnées, substituer à a et à ^ des fonctions quelconques de ces variables, on pourra toujours supposer

On déduira alors des formules (i4)

/3(«) = Vi-/,Ma), ?3 (?) = *V' + ?;*(?),

et, si Ton supprime les indices, les formules (i3) prendront la forme

qui est due à Monge ( * ).

(•) Analyse appliquée à la Géométrie j p. an. La méthode par laquelle nous avons obtenu les équations finies de la surface minima laisse de côté, comme la plupart de celles qui ont été employées, le cas exceptionnel où les deux systèmes de lignes de longueur nulle sont confondus dans toute l'étendue de la surface. Alors, nous l'avons déjà vu (n« IIG), la surface sera une développable imaginaire

Legendre et Monge ont aussi développé une autre manière de résoudre les équations (i4)- Supposons que l'on ait obtenu six fonctions satisfaisant à ces équations et posons

ce qui donnera

Si Ton prend comme nouvelles variables ai et ^i, on pourra toujours donner à/,' (a), Çi(^) les formes suivantes

et les formules (i3) deviendront alors

y = «1/(5'.) -/(ïi) -^ ?■<?'(?■) - »(Pi).

Il y a encore des quadratures à effectuer. Voici comment Legendre les a fait disparaître. En intégrant par parties, on a

/v^mrî/'(a,)rfo..=/'(a,)/miî-^Lâ^+ fû^il^l.

Si donc on pose

/(aO=(i-f-aî)*F'(a,), et de même

les formules seront débarrassées de tout signe d'intégration. On

circonscrite au cercle de l'infini; elle doit être considérée comme une surface minima; car elle satisfait à l'équation du premier ordre

et, par suite, on le vérifiera aisément, à l'équation

(i -^q*)r — ipqs + ( i 4- />• ) ^ = o,

qui caractérise les surfaces minima.

288 LIVBB III. — CUAP. II.

les trouvera dans le Mémoire de Legendre et dans le Traité de Lacroix (t. II, p. 627).

i88. Mais la solution la plus élégante des équations (i4) est celle qui a été indiquée par M. Enneper (* ) et complètement développée pour la première fois par M. Weierstrass dans les articles déjà cités [p. 280] des Monalsberichte.

Posons

la première des équations (i4) nous donnera

et par suite les rapports des trois dérivées /,', /j, /,' seront déterminés par les formules

u est évidemment une fonction de a. Nous pouvons par conséquent, en écartant le cas exceptionnel où u serait une constante, représenter la valeur commune des rapports précédents par

\ ^, H H Nous aurons alors

/i(2)= fud{u)du.

On trouverait de même, en posant

(') E!(.^EPCH (A.)» Analytisch-geometrische Untersuchungen {Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. IX, p. 107; 1864).

el en suivant une mélhode analogue pour ce qui concerne fi,

?3(?)= J Ui^i{Ui)dUi.

Les formules qui définissent la surface seront alors

ix = - I {i — u^) ^{u) du -^ - 1 {i — u\)^i(ui)duiy y = ^-j(i-^u^)^{u)du— ^-J(i'^u\)^i(ui)dui, \ ^= I u^{u)du -{- j Ui i^i{ui) dui.

Il suffira de remplacer J ( w) par la dérivée troisième d'une fonction/(w) de u, et de même ^i{Ui) parla dérivée troisième d'une fonction /i (ut ), pour obtenir les formules suivantes, débarrassées de toute quadrature,

i — Ui .„

/i"(wi)-^wi//(wi)— /l(Wl)i

('8) { ,-f-Mî

qui ont été données par M. Weierstrass.

189. Avant de poursuivre l'application des formules précédentes, nous remarquerons qu'elles laissent de côté le cas où l'une des quantités w, Ut définies par les formules (i5) ou (i6) ne pourrait être choisie comme variable indépendante et se réduirait à une constante. Supposons, par exemple, que u soit constante. On aura alors

agO LIVRE III. — CHAP. II.

et, si l'on désigne par -9'(a) la valeur commune de ces rapports, il faudra substituer aux formules (17) les suivantes :

x= i-~^^0(a)-f- ^j{i—u\)^iiui)duu

0(a)-iy(i-4-£/J)^,ra,)6?ii„

MO(a) -f- I Ui^i(ui)dui.

Les courbes u^ = const. seront des droites parallèles allant rencontrer le cercle de l'infini. La surface correspondante sera donc un cylindre imaginaire ( ' ).

Si u et Ui étaient toutes les deux constantes, la surface, on le reconnaîtra aisément, se réduirait à un plan.

190. Après avoir signalé ce cas exceptionnel, revenons aux formules (17) et (18). Nous allons indiquer d'abord comment on en déduit toutes les surfaces algébriques.

Si les fonctions désignées par y"(w), /<(£/<) dans les formules (18) sont algébriques, la surface minima correspondante le sera aussi. Nous allons démontrer la proposition réciproque el prouver que la surface minima ne peut être algébrique que si les fonctions /(w),/i(W|) sont algébriques.

Les formules (17) nous donnent les relations

d.r .ÔY dx . dy — — i i Y- i -j±-

Ou Ou dUi ôut

(.9) d^ =-"' Tz =-"'■

du du

dont les premiers membres peuvent être calculés, car ils se rapportent à des déplacements effectués suivant les lignes de longueur nulle de la surface; p ei q désignant les dérivées partielles de Zy les équations

{ dz=pdx-\-q dy,

\ dx'^ -f- dy^ -h dz'^ — o

(') Les surfaces de cette nature sont celles qui ont été signalées par Poisson dans le tome II de la Correspondance sur VÉcole Polytechnique. Voir p. a^S.

SURFACES MINIIfA. 'Kjl

déterminent deux systèmes différents de valeurs pour les différentielles dx^ dy^ dz. Soient

•N "N "> 'Si > ; ^t

ùx, q;', (iZ\ ù Xy oj'y o z

ces deux systèmes différents; u et u^ seront évidemment définis, soit par les formules

or — loy a X -^ 10 y

ÙZ û .4»

soit par les suivantes

ùx — lu y ox -^ lùy <22) ^ ' =—u, -—^ =—Uu

0 z ÙZ

et seront par conséquent, dans le cas qui nous occupe, des Ibnctions algébriques de x et de y. Réciproquement Xy y et, par suite, z seront des fonctions algébriques de u et d.e U\, Soit

l'expression de Tune quelconque des coordonnées*, on aura une relation algébrique

Il résulte de là, évidemment, que 'f(w) et ç<(wi) seront des fonctions algébriques; car si, dans l'équation précédente, on donne à /^i, par exemple, une valeur numérique quelconque, cpi(wi) prendra une valeur constante et il restera une équation algébrique déterminant ç(w).

En appliquant cette proposition aux trois coordonnées, nous voyons que les parties de leurs expressions qui ne dépendent que de u

sont des fonctions algébriques de u\ il en sera donc de même de la combinaison

a(i— a*) 4- pt(i4- M*) -f- 2YM = — ^f{u).

292 LIVRE 111. — GHAP. II.

Comme le raîsoanement s^applique également à la fonction /i(ui)^ la proposition de M. Weierstrass est complètement démontrée.

191. Recherchons maintenant à quelles conditions la surface représentée par les équations (17) ou (18) sera réelle. Considérons d'abord les formules (17); si Ton y prend pour ri(u)^ -'^i(w) des fonctions imaginaires conjuguées et si, de plus, les intégrales relatives à // et à Ui sont prises suivant des chemins imaginaires conjugués, les expressions des différentes coordonnées seront évidemment réelles; car, à chaque élément de l'intégrale relative à M, on pourra faire correspondre, dans chacune des trois formules, un élément imaginaire conjugué de l'autre intégrale. Nous allons montrer que ces conditions, qui sont suffîsantes, sont aussi nécessaires.

Reportons-nous en effet aux formules (ao) à (22). Pour tout point réel d'une nappe réelle, on pourra supposer que les deux systèmes de rapports ûjc, oy, Zz] o'Xy o'y, 0' z déCnis par les formules (20) se déduisent l'un de l'autre par le changement de i en — i. Par suite les valeurs de u et de Ui déduites de l'un ou l'autre des systèmes (21), (22) seront imaginaires conjuguées.

On déduit, d'autre part, des formules (17) les suivantes

dx .dy ^. . dx , dy ^ , .

du du oui dui '

Comme les premiers membres de ces relations sont imaginaires conjugués, il en sera de même des seconds. Les fonctions -^(w), .fi(wi) doivent donc être imaginaires conjuguées, ainsi que les arguments //, W|.

Il résulte de là que les nappes réelles de la surface minima seront représentées par les équations

(23) ; 7= S^j K\-^u>)^{u)du,

I z = ^f iuS{u)du^

le signe c)l, déjà employé (n° 126), indiquant que l'on prend seulement la partie réelle de la fonction. Les deux variables réelles

dont dépend la position du point sont alors la partie réelle et la partie imaginaire de Targument m.

En ce qui concerne la recherche des surfaces réelles, les formules (18) présentent une légère difficulté. Il est clair que, si Ton y substitue pour /(m), f\{u\) deux fonctions imaginaires conjuguées, la surface correspondante aura des nappes réelles que Ton obtiendra en donnant k u Qt k U\ des valeurs imaginaires conjuguées; mais la proposition réciproque n'est pas exacte. Pour que la surface minima soit réelle, il n'est pas nécessaire que /{u) et f\{u\) soient des fonctions imaginaires conjuguées. En effet, les expressions de x^ y^ z ne changent pas, on le vérifie aisément, si Ton y remplace f{u)i f\ (W|) respectivement par

/(;^)-l- A(i — w*)-+- Bi(i-+- w*)-+-2Ca =cp(w), /,(w,) — A(i — aî)-hBi(i-hMÎ) — 2Gmi=o,(mi),

A, B, C désignant des constantes quelconques. En admettant même que /(;^) et/i(M|) soient des fonctions imaginaires conjuguées, la même propriété ne saurait appartenir aux fonctions cp(a), C3| {u{) pour toutes les valeurs des constantes A, B, C. Mais on peut démontrer que, dans le cas où la surface minima est réelle, parmi toutes les déterminations possibles du système des deux fonctions y(w), f^ (mi ), il en existe^ toujours une infinité pour lesquelles les deux fonctions sont imaginaires conjuguées. En effet, les équations

lx = S{. [{i-ui)f{u)-riuf{u)-'if{u)], (24) lr = (Rî[(iH-a*)/-(a)-2u/(w)-i-2/(a)],

représentent évidemment une surface réelle; et pour toute fonction /(w) satisfaisant à l'équation

les différentielles des coordonnées déduites des formules (24) sont identiques à celles que l'on obtient au moyen des formules (aS); par conséquent les équations (aS) et (24) représentent deux nappes réelles que l'on pourra toujours faire coïncider par une simple translation imprimée à l'une d'elles. Ce point étant admis,

■ « fc^^ . -

* . h. linisxim

.^- «rtlln'TLr ~1 -.-ifU' ^Oi: -7^ -

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Lir- -T- .i>> : -r. ' : -zr- iz^^-Ti;-^

*--: «il. '*-m>- ''.

-tï- rr*it-.

Ifl

i-jai. 1<

"i ^t'Ci t'ir

tuer d'autres formules semblables, où u et u^ soient remplacées par V et i^i et ^(w), S%{u\ ) par d'autres fonctions Ç(<^), Çi (^i ). Les paramètres u et Ml étant, comme v elv^^ ceux des lignes de longueur nulle de la surface, il faudra que \^ soit fonction de u et ç^ fonction de U\, ou bien que v soit fonction de u^ et ç^ fonction de u. La première hypothèse nous donnerait évidemment

La seconde se traduira par les équations

(1 -h u^)^{u) du = — (I -h v\) gx{vx)dvu

{i-\-u\)§x{u^ydui = -(i-\-v^)q{v)dv,

u§{u)du = Vigi(Çi)dvu

Ui ^i(ui)dui= pÇ(p)c?p,

qui donnent

Pl = j V = ,

u Ui

g,(..)=-,^^(-i), yo') = -^.^.(-;)-

Si Ton se borne aux surfaces réelles, on voit qu'à une même surface minima on peut faire correspondre les deux fonctions

^(«) et -i^.(-i)

qui sont différentes en général. Nous aurons à revenir sur ce point très important, pour l'étudier d'une manière détaillée.

agG LIVRE III. — CHAP. III.