LES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES TANGENTIELLES

Formules relatives au plan tangent et à la normale. — Nouvelle méthode d'intégration de Tcquation aux dérivées partielles des surfaces minima. — Équation de ces surfaces en coordonnées tangentielles ordinaires. — Détermination des fonctions /(m), /,(",)» ^(m)> «-^iCw, ) quand la surface est donnée seulement par son équation en coordonnées tangentielles. — Lignes de courbure et lignes asymptotiques, théorème de M. Michael Roberts. — Transformation que subissent les fonctions /(m ),/,(«/,), ^{u), pT, (m,) quand on effectue un changement de coordonnées. — Détermination de toutes les surfaces minima qui sont des surfaces de révolution, des hélicoTdes ou des surfaces spirales.

193. Après avoir indiqué les formules qui définissent les points de la surface minima, nous allons étudier celles qui concernent le plan tangent et la normale.

Soient c, c', c" les cosinus directeurs de la normale. Ils seront définis par les équations

l ^ '^ "tl — 1 du du du *

(dx ,dy w^^

dux dux dui

Si l'on remplace les dérivées de œ, y^ z par leurs valeurs tirées des formules (17) [p. 289], on trouvera, en attribuant un sens déterminé à la normale,

, V U-r- Ui , .Ui — U , UUi — I

I H- UUi I -t- UUx 1 -h UUi

Si Ton écrit Téquation du plan tangent sous la forme

(3) (tt-f- wi)X -4- i("! — w)Y -^{uui — i)Z -h Ç = 0, on aura

En substituant à la place de or, 1', ;; leurs valeurs déduites des

LES SURFACES HINIMA EN COORDONNÉES TANGENTIELLES. '297

mêmes formules (17). on aura

(w— a)(i-4-aM,)^(a)<fa-^ / (Mi — a,)(i -^aiM,).fi(a,)rfai

les intégrales relatives à a et à ai devant être prises suivant les mêmes chemins que celles qui se rapportent k u et k Ui. Si, pour ne pas avoir de quadrature, on emploie les formules (18), on trouvera

(5) $ = 2w,/(w)-haw/,(ai) — (i-^aai)[/'(w)-+-/i(Mi)].

194. Les variables u, Mi, Ç constituent ce système particulier de coordonnées tangentiellçs que nous avons étudié au Chapitre VII du Livre précédent. Avant de continuer, nous montrerons que les formules érablies (n° 165), relativement à ce système de coordonnées, permettent de déterminer toutes les surfaces minima par une méthode qui revient, au fond, à celle de Legendre.

Reprenons, en effet, ces équations en y remplaçant a par u^ [î par Wi. D'après la première des formules (33) [p. 246] qui fait connaître les rayons de courbure de la surface, nous reconnaissons immédiatement que l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima sera

(6) Ç — pu — ^Wi -4-(l -r- MMi)5 = O,

p, gr, s désignant, suivant Tusage, les dérivées de Ç. Cette équation aux dérivées partielles s'intègre par les procédés réguliers et, en particulier, par la méthode de Laplace; mais on peut encore opérer comme il suit :

Prenons la dérivée seconde du premier membre par rapport à u et à w, ; nous trouverons

S sera donc la somme d'une fonction de u et d'une fonction de M|. D'ailleurs, en différentiant l'équation (6) par rapport à 2^ ou par rapport à W|, on obtient les deux équations

qui pernieltent de calculer r et t quand s est connue. On pourra donc trouver p et q par l'Intégration de deux différentielles à deux variables.

Ecrivons s sous la forme

(8) s =f(u)- u/'(u)-^/[(u,)- u,fl(u,);

nous aurons, en vertu des équations ( 7 ),

et, par conséquent,

p — J( r du -I- s du\ )

^- 2/,(ai)— Uxf\{Ux )-r- Uif{u) — (i-^ uui)/''{u).

q = J(s du -\- t dui )

= if{u)^uf'{u)-\- uf\{U^)^(\-i- UU^)fl{Ux),

Il est inutile d'ajouter aux valeurs de /> et de gr des constantes que Ton peut toujours supposer réunies k f{u) et/i(M<). Si l'on porte ces valeurs de p et de q^ jointes à celles de 5, dans Téquation (6), on retrouve précisément la valeur de Ç donnée par la formule (5).

195. L'équation (5) doit être regardée comme l'équation de la surface, écrite dans un système particulier de coordonnées tangentielles; mais, si l'on prend l'équation du plan tangent sous sa forme la plus générale,

UX-+-VY-+-WZ^-P = o,

on peut aussi obtenir la relation entre U, V, W, P, qui caractérise les surfaces minima.

En identifiant l'équation précédente avec la suivante

X ( w -f- Ml ) -h l Y ( Ml — M ) -r- Z ( UUi — 1 ) -+- Ç = O,

on trouve, en effet,

U V W p -b y/U» -h V» -f- VV=^

u -r- Ml l( M| — u) ~~ UUi — I ~ Ç ~ UUi -+- I