LES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES TANGENTI ELLES
et, par conséquent,
U -f-TV U— tV ^ aP
"-H^iTw' "»-ir=:w' «-HlTw'
H désignant le radical
Portons ces valeurs dans Téquation (5), nous trouverons
Si l'on suppose la surface réelle, les fonctions / et /i seront imaginaires conjuguées. Posons
F, et Fa étant la partie réelle et la partie imaginaire de /. On obtiendra, par un calcul facile, l'équation
(lO
dW LH(W-hH)J
d'où les imaginaires ont complètement disparu. On peut aussi employer la forme
(12) p = 2UF,-h2VF, -2(Uï-hV»-+-Wî)^-^' "^ w)'
qui a été donnée par M. Weierstrass (article cité, p. 025). Supposons, par exemple,
/*(a)=a»; on aura
133 — 3UV« __V3^3Vus
^ <^wLh(H — W)«J (H-W)«^^ ^ • Pour/(w) = u"^, on aurait
P = '(H.!!w)tT[(U + vo»-+(U - VO"-'].
196. Nous présenterons encore une remarque sur Téquation en coordonnées tangentlelles des surfaces minima. Écrivons-la avec les variables m, Ui^ Ç; les formules (9) nous permettront sans difficulté d'obtenir les fonctions J(w), ^t{Ui) relatives à la surface. On aura
il suffira donc de calculer les dérivées secondes r et f et d'éliminer 5 au moyen de l'équation de la surface pour obtenir les équations qui donnent les deux fonctions <^(w), ^i(z/|). Considérons, par exemple, l'hélicoïde
Y z = arc tanc — >
dont l'équation en coordonnées tangentielles est
^ =arctangy;
si l'on remplace U, V, W, P par leurs expressions en fonction des variables //, W|, Ç, elle deviendra
t =(Maf — i) arc tangi = iL ( — •
On aura ici
l(l-^MMl) — i(l-^UU\)
1 u* 'lui
et, par conséquent.
La détermination des fonctions /(w), /i(mi) correspondantes à une surface minima donnée peut aussi être obtenue, mais d'une manière moins simple.
La combinaison des formules (5) et ( 10) nous donne la relation nouvelle
7(i-+-Mi/,)- Ja = a/{M) -2i/Vi("i)
LES SURFACES HINIMA EN COORDONNÉES T ANGENTIELLES. 3oi
Si Ton donne à Ui une valeur constante quelconque «i, le second membre devient égal à ^/(a) augmenté d'un polynôme du second degré en u. On aura donc
P désignant un polynôme du second degré en u. De même, on pourra prendre
Ecrivons P et P| de la manière suivante :
P(m)= A(i — a»)-f- Bi(i-4-a«)-^2Gw, P,(ai)= \\{i — ul)—Bii(i-hu^)^ 2 Cl Ml.
En substituant les expressions de/(u) et de/i (ut) dans l'expression de i donnée par la formule (5), on trouvera un résultat de la forme
0(w, Wi, a, ai) — 2( A -f- Ai)(w -f- Wi)
-h 2(B -h B,)l( Ui — u)-¥- 2(G -f- Ci)(uui — I ),
où le premier membre sera complètement connu. Cette identité permet évidemment de déterminer, autant qu'elles peuvent Tétre (n° 191), les constantes A, Ai, ... et par suite les fonctions /(f/), /i (//,). S'il s'agit d'une surface réelle, on pourra supposer a et rti imaginaires conjugués et prendre
A, = A, B, = B, Ci = G;
les valeurs de A, B, G seront alors réelles.
En appliquant celte méthode à l'hélicoïde, on obtiendra les expressions suivantes :
pour l'un des systèmes de valeurs de/(u) et de/i(f/|).
197. L'équation en coordonnées tangentielles obtenue pour les surfaces minima conduit à la détermination la plus simple des lignes de courbure et des lignes asymptotiques de ces surfaces.
Lorsqu'on emploie les variables w, W|, i, l'équation difTérentielle des lignes de courbure prend la forme (n** 163)
r du'^ — t du\ = o.
Remplaçons r, t par leurs valeurs (g) et nous aurons
^{u)du* — ^i{ui)du\ = o.
Les lignes de courbure s'obtiennent donc par des quadratures et ont pour équation
(i4) f \ ri {u) du dz f y ^ i{ui) dui= consi.
Si l'on écrit
cette équation déterminera le signe qu'il faut attribuer au radical pour chacune des lignes de courbure et les formules (33) [p. 246] nous donneront les coordonnées X, Y, Z du centre de courbure et le rayon principal R correspondant à la ligne de courbure considérée. On a ainsi
2R = (i-i- uui)*-\ ri{u).ii(ui).
rî//? —
X — tY = 37 — 17-4- Ml (1-4- UUt)\^(u)^i(Ui),
\ \ -\- i\ = X -^ iy -^ u {i -h Mai)v J(")^i(mi),
jc, y, z étant les coordonnées rectangulaires du point de la surface.
L'équation diflerentielle des lignes asymptotiques s'obtient également sans difficulté, soit avec les coordonnées ponctuelles, soit avec les coordonnées tangentielles. Si l'on emploie, par exemple, Téquation (35) que nous avons donnée [p. 246] relativement au système (m, Wi, Ç)
(i-h uui){r du^-^ is dudux-{- t du\) -h 2 dudux(X — P^ — 9^i) = o,
le coefficient de du du\ sera nul en vertu de l'équation aux dérivées partielles de la surface, et il restera
«f (m) du'^-{- ^1(1/1) du\ = o.
LES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES TANGENTIELLES. 3o3
On voit que les lignes asymptotiques se déterminent encore par des quadratures ( ' ).
On a pour leur équation en termes finis
(i6) J \^{u) du ±1 ij \^\{ux)dux = const.,
et les quadratures sont celles qui figurent déjà dans V équation des lignes de courbure.
Pour obtenir des surfaces minima algébriques dont les lignes de courbure et les lignes asymptotiques soient algébriques, il suffira donc de connaître deux fonctions algébriques /(^z), y\(Mi) telles que les quadratures suivantes
///'(TT) du, fyJJfîUV) du,
soient aussi algébriques.
Lorsque la surface est réelle, les équations des lignes de courbure peuvent s'écrire
^J \'S{u)du = const., S\.ij \/:f i^u)du = const., et celles des lignes asymptotiques
^J \ i^{u)du = consl., S\J y — i^{u) du = const.
198. Les formules relatives aux coordonnées tangenti elles permettent de résoudre simplement une question essentielle et de reconnaître comment se transforment les fonctions /(;/), /«(wi), ^{u), cf|(wi) quand on effectue un changement de coordonnées ou, ce qui est la même chose, quand on déplace la surface en conservant les axes.
Supposons d'abord que l'on soumette la surface à une translation dont les composantes soient \ [jl, v. L'équation du plan
(<) La détermination des lignes de courbure et des lignes asymptotiques est due à M. Michael Roberts qui Vz, donnée dans un Mémoire Sur la surface dont les rayons de courbure sont égaux, mais dirigés en sens opposés, inséré en 1846 au Journal de Liouville, t. XI, i" série, p. 3oo. Ce beau travail contient aussi d<.'s recherches sur l'aire de la surface ainsi que sur la surface minima réglée laplus générale.
3oi LIVAE III. — CHAP. lit.
taogcnt
• M — ii| iX — i' Ui — M t Y — . uui — nZ — ; = '»
deviendra
;' avant pour valeur (n" 167 »
;' = ; — /.< a — £1] > — i'xi Ui — 1/1 — VI uui — I I.
On obtiendra cette nouvelle valeur de zf en substituant au!( fonctions /<' m), /i(W|) les suivantes
qui sont imaginaires conjuguées siy*(£/), /|(W|) le sont aussi. Les valeurs des fonctions 5(m), '*i(Wi) ne seront pas cliangées, comme cela était évident a /?/7ori.
Imaginons maintenant que Ton imprime à la surface une rotation quelconque autour de l'origine des coordonnées. Un point quelconque M de la surface viendra occuper une certaine position
yv. Soit
i V -^- Vi )\ l( i'i — i* ) Y — ' ^W'i — I -Z - - J' =: O
Téquation du plan tangent en M'. On aura (n" 167)
jfn^ - n niuVi — no
(iH) II — » Ui= ■ -,
ffio-- /iffV m — nvi
^ ^, mnto-^nnn
Si Ton désigne par ^(i^), ^i(^'i) les fonctions analogues ^f{u)r f\\u\)el relatives à Ja surface déplacée, Ç' aura pour expression
et l'on aura à déterminer ^(^'), gt (^'1) par la condition
]2Ui/(U) -- 7.ufx{Ux) — (ï -H WWi \f (u) -^/, ( «i )] ^ ^^-° ÎÎ-LT
' mniQ -f- nrio
LES SURFACES MINIUA EN GOOnOONNÉES TANGENTIELL ES. 3o5
Pour déduire de cette équation les expressions des fonctions g{^')j fft{^i)i on pourrait appliquer la méthode générale du n°196; mais, avec quelque attention, on aperçoit la solution suivante
^(^)= -fi (mo-/ioi;)«,
où 0 désigne le déterminant de la substitution
et que Ton vérifiera aisément. Si Ton remplace u et Ut par leurs expressions en ç, i^t, on aura
199. La question que nous nous étions proposée est ainsi complètement résolue ; car, pour obtenir les résultats relatifs au déplacement le plus général, il suffira de considérer ce déplacement comme résultant d^une translation quelconque et d^une rotation autour de Torigine des coordonnées, et d'appliquer successivement les formules (17) et (20). Il nous reste seulement à examiner ce que deviennent les fonctions éf(i/), r!?i(wi) après le déplacement le plus général et, pour cela, il suilGlra de difTérentier trois fois par rapport à ç^ ou à ç^i les équations précédentes ( 20). On obtient ainsi, en désignant par G(^)? (ji(^i) les dérivées gf'^v), 5^7(^1 )» les équations suivantes
qui font connaître de la manière la plus simple la forme nouvelle des fonctions -^{u), ^i(Ui). Il est aisé d'en déduire quelques relations qui serviront de vérification à nos calculs.
3o*j LIVRE m. — c:iAP. III.
Si l'on lient compte de l'identité
1 H- UUi = ^^ — ; ,
on déduira des formules précédentes la relation
<jue nous aurions pu écrire a priori^ puisque chacun des deux membres doit représenter quatre fois le carré du rayon de courhure principal.
D'autre part, on a
fin 0 dui __ 0
par conséquent les formules (21) conduisent aux relations suivantes
( ff{u)du^=q{s>)ch\
rt l'on reconnaît ainsi que les équations différentielles (i 4) et (16) des lignes de courbure et des lignes asjmplotiques ne subissent aucun changement de forme lorsqu^on effectue la transformation.
200. Nous allons donner une application des résultats précédents en cherchant toutes les surfaces minlma qui sont en même temps des hélicoïdes ou des surfaces de révolution. Il suffira évidemment d'exprimer qu'il existe un déplacement hélicoïdal continu dans lequel la surface cherchée ne cesse pas de coïncider avec elle-même. Prenons pour axe des z l'axe de ce déplacement qui est aussi celui de l'hélicoïde. Si l'on fait tourner la surface d'un angle fini 0 autour de cet axe, les formules (18) prendront ici la forme très simple
qui convient à ce déplacement (n" 28) et l'on aura
m = e *, n = Oy mo= e *, /iq=o.
En substituant ces valeurs des constantes dans les formules (21), on trouvera
(23) (;(P)=.f(re-'0)e-«^, (Jtivi)^ 3i{vtei^)e*i^,
LES SURFACES UINIUA EN COORDONNÉES TANGBNTIELLES. 3o7
et ces expressions de Ç(^), (/i(^i) ne seront pas changées si l'on imprime à la surface dans sa nouvelle position la translation parallèle à Taxe des z qui l'amène à coïncider avec sa position primitive. On devra donc avoir
par suite, «^(i'), -'^1(^1) devront satisfaire respectivement aux équations fonctionnelles
et cela, pour toutes les valeurs de 8.
Ces équations expriment que les produits i>^^{ç), i'J^i(i'i) demeurent invariables quand on y remplace ç, Ti respectivement par c^e"'®, Ç'te'^ et sont, par conséquent, constants. On pourra donc poser
a et a désignant deux constantes qui seront réelles si la surface est réelle.
Les hélicoïdes qui correspondent à ces valeurs de ^(u), J'i(wi) sont ceux qui ont été obtenus par M. Scherk et dont nous avons donné l'équation au n® 180. Nous les retrouverons plus loin. La surface minima de révolution, qui est l'alysséide déjà étudiée au n° 06, correspond à la valeur o de a; l'hélicoïde gauche à plan
Mm
directeur correspond (n** 196) à la valeur - de la môme constante.
201. Cherchons encore toutes les surfaces minima qui rentrent dans la classe des sur/aces spirales signalées au n® 89 et découvertes par M. Maurice Lévy. Ces surfaces, nous l'avons vu, jouissent de la propriété de reprendre leur position initiale si on les fait tourner d'un angle quelconque 0 autour de leur axe et si on les soumet ensuite à une transformation homothétique dont le pôle est sur cet axe et pour laquelle le rapport de similitude est c"^, a désignant une constante. Si l'on a pris pour axe des z l'axe de la surface, il faudra donc que la fonction (J{v) relative à la position nouvelle que prend cette surface, après la rotation d'angle
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