Posons
l'équation deviendra
et cette unique équation peut évidemment être remplacée par les deux suivantes
( rfl = c.a-(é-A)v, où h désigne une fonction que l'on choisira arbitrairement ( ').
(') Il est bon (le remarquer que, si l'intégration complète du système (16) entraîne celle de l'équation de Riccati sans qu'il soit nécessaire d'effectuer une quadrature, la réciproque n'est pas vraie. L'intégration de l'équation de Riccati une
fois effectuée, on a seulement le rapport — ; la détermination de (i ou de v par
les équations (16) exige encore une quadrature.
26 LIVRE I. -— CIIAP. II.
Or réliinlnation de (jl ou de v conduit, évidemment, à une équation linéaire du second ordre.
Si Ton prend, par exemple, h = 6, on aura
et V satisfera à Féquation
(17) __^,6-..j^-^-«cv = o.
Si V| et Va désignent deux solutions "particulières de cette équation, on aura
(.8) ,=iV+CÏ..
C désignant une constante arbitraire.
19. Nous avons vu que le rapport anharmonique de quatre solutions particulières quelconques de Téqualion de Riccati est constant. Il est aisé d'établir que cette propriété est caractéristique, qu'elle appartient à cette seule équation.
En effet, si 0*0, ^\^ ^i sont trois solutions particulières, l'intégrale générale de l'équation considérée sera donnée par la formule
(T — J| Œj • ■ ffj
et l'élimination de C par une différenliation conduit à une équation de Riccati.
20. Appliquons ces propositions générales, relatives à l'équation de Riccati, à notre équation (11) en 7. Toutes les fois que Ton connaîtra une solution du système (i) pour laquelle la somme constante a- + P'-f-y* sera différente de zéro, on pourra réduire cette somme à l'unité, et les formules (8) nous feront alors connaître deux solutions particulières de l'équation en o'. Désignons
ces deux solutions par Tq, r/ H suffira, pour déterminer l'intégrale générale de l'équation en o", d'effectuer une seule quadrature. L'application de la formule (i5) nous conduira par des
INTéGRATION DU SYSTÈME LINÉAIHE. 27
Iransformations faciles à réquation
