Proposons-nous maintenant d'obtenir toutes les surfaces

réelles; soient (M) une telle surface et p un quelconque de ses points réels; soient

les équations qui définissent Tune des deux courbes miniina de la surface passant parle point/?. La courbe conjuguée sera définie par les équations

où A', B', C désignent les fonctions conjuguées de A, B, C D'ailleurs elle se trouve évidemment sur la surface, passe par le point p cl y admet une tangente qui est imaginaire conjuguée de la tangente à la première courbe. Elle est donc la seconde courbe minima de la surface passant par le point/?. Ce point étant admis, désignons par Xo, ^Voî ^o les coordonnées du point /?^ les équations

:K = B(/)^-B'(T)-ro,

déterminent une surface minima qui contient les deux courbes précédentes et coïncide, par conséquent, avec la surface donnée

(M). Si Ton augmente A, A' de Î2, B, B' de ^y C, C de ^, on

peut les écrire sous la forme plus simple

A, A'; B, B'; C, C désignant encore des fonctions imaginaires conjuguées. Réciproquement, il est évident que les formules précédentes donneront toujours une surface réelle; car il suffit, pour obtenir des points réels, dV remplacer / et t par des imaginaires conjuguées. Ainsi :

Pour obtenir toutes les surjaces réelles, on associera à une courbe minima quelconque la courbe imaginaire conjuguée, qui est aussi minima. Le milieu de la droite qui joint un point quelconque de la première courbe au point imaginaire con-

LES FORMULES DE MONGE. Sjy

j ligué, nécessairement situé sur la seconde courbe, décrira une nappe réelle de la surface minima réelle la plus générale.

223. Les raisonnements précédents laissent toutefois de côté une question dont Texamen offre quelque intérêt. Pour que le milieu de la droite qui joint deux points soit réel, il n'est pas nécessaire que les deux points soient imaginaires conjugués. Ne serait-il pas possible d'obtenir des nappes réelles en joignant les points de la première courbe à des points de la seconde qui ne seraient pas imaginaires conjugués des premiers. Les résultats obtenus au n" 220 donnent la réponse à cette question.

En effet, soient M un point pris sur la première courbe (F), Nq un point pris sur la conjuguée (F') {Jig- 17), et soient Mo, N les

Fig. 17.

points imaginaires conjugués de M, N©, le premier se trouvant sur la seconde courbe et le second sur la première. Si le milieu de la droite MNq est réel, il coïncidera avec le milieu de NM© et, par conséquent, chaque point de la nappe réelle étant obtenu de deux manières différentes, il faudra, d'après les résultats du n" 220, que Tune des droites MM©, MN soit de grandeur et de direction constantes. Si cette propriété appartient à la droite MM©, la courbe (F') se déduira de (F) par une translation déterminée; nous avons déjà réservé (n** 220) cette hypothèse pour une discussion spéciale et nous pouvons admettre ici que la droite dont la grandeur et la direction sont invariables est le segment MN. Gomme la figure MNNoM© est un parallélogramme, la droite MN est égale et parallèle à sa conjuguée M^N© et elle est, par suite, de grandeur et de direction réelles. La courbe (F) sera donc une courbe périodique admettant une période réelle MN et il en sera de même de la courbe conjuguée (F'). La surface minima sera aussi périodique et pourra être soumise à la translation réelle

— sans cesser de coïacider avec elle-même. Quant au milieu p

de MNo, il se déduira du milieu /?' de MMo parla môme translation. Par suite, en joignant seulement les points imaginaires conjugués, M, Mo par exemple, sur les deux courbes, on n^aura pas toute la partie réelle de la surface, mais on obtiendra du moins une portion de la surface dont on peut faire dériver toutes les autres en la

soumettant à la translation ^-

224. Il nous reste à examiner l'hypothèse particulière, réservée dans les raisonnements qui précèdent, où les deux courbes (F), (r,) peuvent se ramener Tune à l'autre par une simple translation. Cette étude nous conduira à la notion importante et nouvelle des surfaces doubles, qui est due tout entière à M. Lie.

Nous avons vu que Ton peut, dans la génération de la surface, substituer aux deux courbes (F), (F,) deux autres courbes (F'), (F'j) qui s'en déduisent respectivement par deux translations égales et opposées. D'après cela, si nous désignons par(rf) la translation qui, dans le cas actuel, amène (F) à coïncider avec (F|), nous

- j et à (F|) la trans-

- j: nous obtiendrons ainsi une seule et même courbe

(D) qui remplacera à la fois (F) et (F,), en sorte que la surface proposée deviendra le lieu des milieux de toutes les cordes de cette courbe minima (D).

Réciproquement, si une surface admet la génération précédente au moyen de la courbe (D), il résulte de la proposition démontrée au n" 220 que Ton obtiendra tous les systèmes différents de courbes (F), (F< ) au moyen desquels on peut engendrer la surface en imprimant à la courbe (D) deux translations égales et opposées. Par suite, les courbes (F), (F|) relatives à tout système de génération de la surface pourront toujours se déduire l'une de l'autre par une simple translation.

Revenons à la génération de la surface au moyen de la courbe unique (D), elle permet de reconnaître que les deux courbes minima dont la translation engendre la surface sont identiques l'une à l'autre. Si l'on considère en effet une corde MM| de la

courbe (D), les deux courbes mînLina de la surface passant par le milieu de cette corde sont les homothétiques de (D), avec le

même rapport de similitude -> par rapport aux points M, M|.

Elles sont donc égales et peuvent être amenées à coïncider par

une translation égale à- MM<, imprimée à Tune d'elles. Nous

pouvons ajouter que les deux séries de courbes minima tracées sur la surface ne peuvent plus être distinguées l'une de Tautre et forment une seule famille composée de toutes les courbes que Von obtient en prenant les homothétiques de la courbe (D) par rapport à chacun de ses points. Ces courbes sont évidemment tangentes à la courbe (D), chacune au centre d'homothélie qui lui correspond, et elles admettent cette courbe pour enveloppe. Mais, comme il en passe deux par chaque point de la surface, qui est ainsi engendrée deux fois, M. Lie a donné le nom de surfaces doubles à toutes les surfaces minima que nous étudions ici et que Ton peut caractériser, comme on voit, en disant qu'elles sont le lieu des milieux des cordes d'une courbe minima (D). Si la courbe (D) est définie par les équations

la surface double correspondante le sera par le système

où ^ et T entrent symétriquement, en sorte que le même point de la surface correspond à deux systèmes différents de valeurs de / et de T se déduisant l'un de l'autre par l'échange de ces deux variables.

2î2o. La définition que nous avons adoptée permet de reconnaître qu'il existe des surfaces doubles réelles. Mais, pour faciliter cette recherche, nous commencerons par examiner s'il existe des surfaces doubles qui soient le lieu des milieux des cordes de deux courbes différentes (D), (D').

Nous pouvons appliquer ici les résultats du n® 220 en considérant (r) et (Ti) comme confondues avec (D), (H) et (F)

35o LIVRE ÏII. — • CHAP. VI.

comme confondues avec(D'). Il faudra que (D) puisse se déduire de (D') par deux translations égales et opposées et, par conséquent, que (D) soit une courbe périodique. Réciproquement, si la courbe (D) est périodique, soit {d) la translation à laquelle on peut la soumettre sans qu'elle cesse de coïncider avec elle-même. On reconnaîtra aisément qu'en lui imprimant une translation égale

- j, on obtient une nouvelle courbe (D') qui donne

la môme surface que la première.

Un raisonnement analogue montrera que, si un point quelconque de la surface correspond à deux cordes différentes de la courbe (D), cette courbe est nécessairement périodique.

En dehors du cas exceptionnel où (D) est périodique, on peut donc affirmer qu'à chaque surface minima double correspond une seule courbe (D) et que les points de la surface qui sont les milieux de deux cordes ne peuvent former une nappe et se distribuent tout au plus sur certaines lignes, nécessairement multiples, de la surface.

Ce point étant établi, proposons-nous de trouver toutes les surfaces doubles réelles. Soit (D) la courbe au moyen de laquelle on peut engendrer la surface; on reconnaît immédiatement, en changeant i en — «, que la surface peut aussi être engendrée au moyen de la courbe imaginaire conjuguée (D'). Donc :

Pour que la surface minima double soit réelle, il est nécessaire que la courbe ( D) coïncide avec sa conjuguée ou puisse, du moins, s^en déduire par une translation

Réciproquement, supposons que la condition énoncée soit remplie. Si la courbe coïncide avec sa conjuguée, elle contiendra, en même temps que le point imaginaire M, le point imaginaire conjugué Mo, et le milieu de la corde MM© décrira une nappe réelle.

Si, au contraire, la courbe (D) ne coïncide pas avec sa conjuguée (D'), mais peut s'en déduire par une translation, la surface double correspondante à la courbe (D) pourra, si elle est réelle, être engendrée aussi au moyen de la courbe (D'), et la remarque faite plus haut nous apprend qu'elle sera nécessairement transcendante et périodique. Nous sommes ainsi conduits au résultat suivant :

LES FORMULES DE MONGK. 35l

Pour obtenir toutes les surfaces doubles réelles non périodiques et, en particulier^ toutes les sur/aces doubles algébriques, il suffit de déterminer toutes les courbes niiniina qui sont identiques à leur conjuguée (•).

226. On peut signaler d^abord une solution évidente du problème ainsi posé. Considérons la développable circonscrite à une surface réelle quelconque, transcendante ou algébrique, et au cercle imaginaire de l'infini. Cette développable sera, en général, indécomposable et, comme elle est définie par des équations réelles, son arête de rebroussement sera une courbe minima qui coïncidera avec sa conjuguée et donnera, par conséquent, naissance à une surface double réelle.

Soit

Téquation tangentielle homogène d'une surface réelle quelconque.

(*) On peut ajouter les remarques suivantes relatives au cas où la courbe (D) peut être amenée par une translation à coïncider avec sa conjuguée. Si la translation qui amène (D) en coïncidence avec (D') est réelle, la surface minima correspondante le sera aussi. Soient en effet, a, 6, c les quantités réelles qui sont les composantes de la translation. A un point M(j:, ^', z) de (D) correspond un point N de (D') dont les coordonnées sont

Le point N', imaginaire conjugué de ce point, se trouvera évidemment sur la courbe (D) conjuguée de (D') c^ il aura pour coordonnées

^o-+-«» r»-*-*» ^o-^Ct

x^f J'o' ^0 désignant les quantités conjuguées de x^y, z. Il suit de là que le milieu de la droite MN' qui est une corde de (D) sera réel et décrira une nappe réelle de la surface.

Si la translation qui amène (D) sur(D') est imaginaire, la surface ne sera pas nécessairement réelle. Considérons, par exemple, la courbe (D) définie par les

équations

a? = i cos t,

j' = « sin t,

Cette hélice peut être amenée à coïncider avec sa conjuguée par une translation T. — 3^1 parallèle à Faxe des z, La surface lieu des milieux de ses cordes n'est réelle que si la constante p est nulle.

352 LIVRE III. — Cil A P. VI.

L'équation d'ua plan langent au cercle de Tinfini est

(8) (I — a').F H- £(i -h a»)/ -T- 1UZ -h 2$ = o.

Exprimons que ce plan est aussi tangent à la surface, nous aurons Téquation

(9) F[i — a«, t(i-f-Mî), 2Uj 2Ï] = o,

ou plus simplement, en tenant compte de rhomogénéilé,

le symbole <ï> désignant une fonction réelle quelconque. La valeur de i tirée de cette équation sera la fonction J{u) qui figure dans les formules (5). En changeant i en — /, on aura la fonction conjuguée/i (;/)etla surface minima correspondante sera pleinemeni déterminée.

Supposons, par exemple, que Ton considère la développablo circonscrite à la fois au cercle de Tinfini et h la parabole dont Téquation tangentielle est