U- - \VI

On aura ici

et, par conséquent,

En substituant ces valeurs dans les formules (18) [p. 289], on aurait les équations qui déterminent la surface.. C'est la plus simple des surfaces minima doubles; elle a été découverte par M. L. Henneberg (*). Nous la retrouverons plus loin.

227. On peut se placer à un autre point de vue dans la recherche des surfaces doubles et se demander, par exemple, à quelle con-

(•) IIen.neoerg (L. ), Ueber solche Minimaljlàchen welche eine vorgescliricbeiH' ebene Curve zur geoddtischen Linie haben. Zurich, 1875.

L'eber diejenige Minimal/lâche, welche die Ne il' se he Parabel zur gcodatischen Linie kat ( Vierteljahrschrift der Ziircher Naturf. Ces., t. XXI).

Bestimmung der niedrigsten Classenzahl der algebraischen Minimal /làchen {Annali di Matematica, 2* série, t. IX, p. 5'i; 1877).

dition doivent satisfaire, si la surface est double, les fonctions «f(^^), ^<(Mi) de M. Wcierslrass. Si nous considérons les deux courbes

Z= j U^{u)dUj \ '^ ~ / "l '^iC"! jû^"i»

dont la translation engendre la surface, il faut exprimer que l'une d'elles se déduit de l'autre par une simple translation, c'est-à-dire que l'on peut prendre pour u^ une fonction de u permettant de satisfaire aux relations

( I — u* ) rT( w ) rfw = ( I — mJ ) .Ti { wi ) dui , i{ I -r- ^^* ; rf ( w j du = — t( i -r- a} ) rf i ( Ui ) du^, u^(U}du = Ui rfil Wi) dui.

En divisant membre à membre, on trouve les deux égalités

1 — w* ' "^ "' '* I — wf ~ 1 -r- w{ "" i/i ' qui donnent

Ml =

Si l'on porte cette valeur de u^ dans Tune quelconque des équations précédentes, on obtient la relation

(12) cfi(Mi)M?=-M«J(u),

que l'on peut mettre aussi sous la forme

C'est la condition cherchée, et le raisonnement prouve bien qu'elle est suffisante.

Si Ton applique un raisonnement analogue au cas où les deux courbes sont détinies par leurs plans osculateurs

{l^ u^)x-h i{i-h u'*)}^-+-2.uz 4- 2/(m) =0, {l—u\)X — i{l-h U\)}r -^2UiZ-{-l/i(Ui) = O,

354 LIVRE III. — ClIAP. VI.

on trouvera, en exprimant que ces deux plans coïncident, les relations

(.3) «. = -1, .E^^.Mjh),

U U Ui

Le problème de la recherche des surfaces doubles est ainsi complètement résolu.

228. Si l'on veut que la surface double soit réelle, il faudra que les deux fonctions/ et /i ou ^, ^< soient conjuguées. On est ainsi conduit à une équation fonctionnelle dont la solution est d'ailleurs très facile.

Posons en effet

et désignons par 0< ( w) la fonction conjuguée de 6(w). On devra avoir

Mêlions en évidence la partie réelle P(w) et la partie imaginaire «Q(w) de la fonction 0. Nous aurons

Cl, par conséquent,

les symboles p el g désignant des fonctions réelles, d'ailleurs quelconques. On déduit de là, pour 6 (m), l'expression

ou, plus simplement.

z^ désiguant une fonction imaginaire quelconque p{u) -^ '?(") ^^ cpi la fonction conjuguée de <p.

On trouverait de même pour ^(u) l'expression analogue

(i5) "«^(tt) = cp(it)-cpi(-i).

En s'appuyant sur les résultats précédents, on peut démontrer que le procédé indiqué au n^ 226 donne la courbe minima la plus générale coïncidant avec sa conjuguée. Prenons en effet l'équation du plan osculateur de cette courbe sous la forme

"^V"" m) ■^'^V'*"^ M-t-2;5-i-2cp(a)-f-2Çi ^— M =o,

où l'on a remplacé /(«) par sa valeur tirée de l'équation (i4)' En identifiant l'équation précédente avec celle d'un plan quelconque

on trouve

U -^ tV I U - iV

'1 VV "" u'

rvr^ = "' ^. = cp(u)-^cp,(i)

et, par conséquent,

P /u — iV\ /U-^iV

{]L±JX\

Cette équation définit évidemment une surface réelle à laquelle sera circonscrite la développable, enveloppe des plans oscuTateurs de la courbe considérée.

229. Jusqu'ici nous avons employé les formules de M. Weierstrass, qui sont parfaitement appropriées à Tétude des surfaces réelles. Dans la théorie des surfaces doubles, où il s'agit de comparer les deux courbes minima dont la translation engendre la surface, il sera avantageux de représenter les deux courbes minima de la même manière et de les considérer respectivement comme les enveloppes des deux plans

(l — U^)X -^ ((l-^ U^)jr -h 2UZ H- lf{u) =0, (l — WÎ)J7 H- l(l 4- MÎ)j'-+- 2Mi5 -t- 2/i{Ui) = O.

Alors les deux plans seront parallèles si l'on a W| = u, et les deux courbes seront identiques si Ton a

Les formules qui définissent un point de la surface seront les suivantes (*)

x= \:Z^f\u)^ uf(u) -/(u)

i/î(Mi)-4- wi/;(tti) -Mu,).

(16) \ . I -+- «' -^, . ' rt, ^ • /•/ \