IH- W

\ z = ur{u)^fiu)-^u,/l(u,)-/i{ih),

et le plan tangent aura pour équation

(17) (1— uUi)X -f- i(n- uui)Y -f-(w-f-Mi)Z-t-; = o,

Ç ayant pour valeur

C'est l'équation de la surface écrite dans le système (a, p, S) qui a été défini et étudié aux n*** 164, 166. Elle se prête de la manière la plus simple à Télude des surfaces doubles. Dans ce cas, nous venons de le voir, on aura

et, par conséquent, $ sera une fonction symétrique de u et de Ut. Réciproquement, exprimons que Ç est une fonction symétrique de u et de Uf Nous devrons avoir

2/(w)-t-2/i(lti)-(M-I*,)[/'(w)-/;(M0]

= 2/(Mi)-+-2/i(a)-(tt-U|)[/i'(w)-/'(Wl)].

Posons

/(w)-/i(it) = 2e(w),

(') Ces formules sont, aux notations prés, celles qui ont été données par Bjôrling dans le Mémoire analysé plus haut [p. 279].

Téqnalion précédente ne contiendra plus que 0(w) et deviendra

26(w) — îiO(M,) — (m — M,)[e'(M)-+-0'(ai)] = 0.

La seule fonction satisfaisant à cette équation est un polynôme du second degré, mais il est inutile de la rechercher. Car, si l'on introduit la notation

/(a) - 0(a) =/i(a) -f- e(a) = cp(a), l'expression de Ç devient

$ = !Xo(M)-f-2cp(M,) — (a — m,)[o'(m) — <P'(m,)],

i?t nous trouvons l'équation tangentielle d'une surface double, qui correspond à la fonction cp(w). Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Si l'on emploie le système de coordonnées tangentielles dans lequel on écrit l'équation d'un plan sous la forme

(20) (,ap)X-^i(i-f-ap)Y-f-(aH-p)ZH-^ = o,

l'équation tangentielle des surfaces minima sera

i'xx) J = .2/(a)-f.a/,0)-(a-P)[/'(a)-/;(p)].

La condition nécessaire et suffisante pour que la surface soit double est que $ soit une fonction symétrique de a et de ^.

230. Nous sommes ainsi conduits à étudier d'une manière générale la distinction que l'on doit établir entre les surfaces dont Téquation tangentielle est symétrique par rapport à a et à ^^ et celles dont l'équation n'est pas symétrique par rapport à ces variables.

Envisageons une surface algébrique quelconque, représentée par l'équation tangentielle indécomposable

si l'on y remplace U, V, W, P par leurs expressions en a, P, Ç, on aura l'équation

(ti3) F[i-ap, «(i-+-a?), an-?, Ç] = o,

358 LIVRE m. — CHAP. VI.

qui est symélriquc en a et p. Mais il peut arriver que, l'équatîon (22) étant indécomposable, il n'en soît pas de même de la précédente.

Supposons, en effet, que l'équation (22) se présente sous la forme

(2O /»(U,V,W,P)-(U«-t-V«-+-W»)cp«(U,V,W,P) = o, Téquation (28) deviendra

et se décomposera dans les deux suivantes

qui ne sont plus symétriques, mais qui se ramènent Tune à Tautre quand on échange a et p. Elles donnent, l'une et l'autre, tous les plans tangents de la surface, mais avec des sens opposés pour la normale.

Réciproquement, considérons une surface définie par l'équation

irréductible par rapport à Ç. Si cette équation n'est pas symétrique par rapport à a, p, on sera conduit, avec les variables U, V, W, P, à une équation tangentielle de la forme (24) qui permettra

d'exprimer le radical ^V'^ 4- V^ 4- W^ en fonction rationnelle de U, V, W, P ou, ce qui est la même chose, des coordonnées du point de contact.

Si, au contraire, l'équation (aS) est symétrique par rapport à a et à p, il sera impossible d'exprimer rationnellement le radical en fonction de U, V, W, P. Si Ton avait, en effet,

nous trouverions, en remplaçant U, V, W, P en fonction de a,

(a-p)cpt(a,?,0=±/i(a,p,0.

fi et (fi étant symétriques en a et p. Or il est impossible que cette équation soit vérifiée par les valeurs de Ç racines de l'équa-

LES FORMULES DE MONGE. SSg

tîon irréductible proposée, à moins que ces racines n'annulent à la fois /< et ^|. Alors la valeur du radical donnée par Téquation

(26) se présenterait constamment sous la forme - et cette équation n'aurait aucun sens.

En appliquant ces remarques aux surfaces minima, nous obtenons la proposition suivante :

Pour qu*une surface minima soit simple, il faut et il suffit que son équation tangentielle puisse être ramenée à la forme (24); si elle est déterminée par une équation en coordonnées ponctuelles f{x, y j z) = o, il faut et il suffit que les deux déterminations du radical

soient des fonctions distinctes l'une de l'autre, c'est-à-dire que le radical soit un carré parfait.

Considérons, par exemple, l'alysséide qui est définie par Téquation

On a ici

= ±-i/ ix^-hiy^-T-^^e" —e ") =± ^ye'* -h e' ») •

I^'alysséide est donc une surface simple.

Nous pouvons maintenant compléter les remarques présentées au n° 192 sur la représentation d'une surface minima par les formules de M. Weierstrass. Bornons-nous, pour plus de netteté, aux surfaces réelles. Nous avons vu qu'à une même surface on peut faire correspondre deux fonctions différentes

.T(m) et

Les résultats obtenus au n" 227 nous montrent que ces deux fonctions ne seront pas distinctes, dans le cas des surfaces doubles, ou, plutôt, ce seront deux branches différentes d'une même fonction. Si, au contraire, la surface est simple, ces deux fonctions seront

irréductibles l'une à l'autre et nous aurons deux fonctions différentes d'une même variable imaginaire se rapportant à la même surface. Ces deux fonctions correspondront aux deux courbes minima distinctes dont la translation peut engendrer la surface.

231. C'est ici le lieu de présenter quelques remarques sur les surfaces dont Téquation tangentielle est delà forme

cp» — (U« -4- V» -r- \V»)'J^» = O.

Le radical y U^ -+- V^ -+- W^ étant une fonction rationnelle de U, V, W, P et, par conséquent, des coordonnées du point de contact, on voit qu'il est possible d'attribuer aux normales en tous les points de ces surfaces un sens bien déterminé. Si l'on prend, par exemple,

pour les cosinus directeurs de chaque normale, et si l'on décrit sur la surface un chemin quelconque pour revenir au point de départ, on y reviendra toujours avec les mêmes valeurs pour les cosinus directeurs. En d'autres termes, il sera possible de distinguer analytiqiiement deux côtés de la surface. C'est ce qui arrive, par exemple, dans le cas de la sphère ou dans celui de la surface de quatrième classe déjà considérée «au n° 1S9.

Supposons, au contraire, qu'il soit impossible d'obtenir pour

y/D^4- V^ 4- W^ une expression rationnelle en fonction des coordonnées, soit ponctuelles, soit tangentielles ; les cosinus directeurs de la normale,

changeront certainement de signe lorsqu'on suivra sur la surface un chemin réel ou imaginaire convenablement choisi. Seulement il y a lieu, dans ce cas encore, de faire une distinction très essentielle. Pour certaines surfaces telles que l'ellipsoïde, le paraboloïde, les hyperboloïdes, si l'on revient au point de départ après avoir parcouru un chemin réel quelconque, on retrouvera toujours le même sens pour la normale. En d'autres termes, si l^on imagine une petite sphère parcourant le chemin considéré,

LES FORMULES DE MONGE. 3Gl

elle se trouvera, au retour, du même coté de la surface qu'au départ. Mobîus a remarqué le premier qu'il existe un grand nombre de surfaces telles que le sens de la normale se trouve changé quand on revient au point de départ après avoir parcouru un chemin réel convenablement choisi. Bornons-nous, pour plus de simplicité, à considérer les surfaces algébriques. Il faut évidemment, pour que la circonstance précédente se présente, que la surface ait des lignes multiples réelles.

Considérons, en effet, la surface parallèle à la proposée, obtenue en portant sur les normales des longueurs infiniment petites

égales à |jl. Tant que y/U^ 4- V^ -h W^ ne sera pas un carré parfait, les deux nappes dont se compose cette surface ne constitueront analytiquement qu'une seule surface et, si l'on considère les ileux points m, m', situés sur la normale en un point M de la surface donnée, il sera toujours possible de suivre sur la surface parallèle un chemin réel ou imaginaire qui conduise de m à m' . Mais, si ce chemin est entièrement réel, la fonction

qui, égalée à zéro, donne l'équation de la surface proposée, aura évidemment changé de signe quand on passera de /n à ml. Comme ce chemin est parallèle à une nappe de la surface, il faudra nécessairement qu'il en traverse au moins une autre et, par conséquent, que la surface proposée ait une ligne multiple ou, au moins, un point multiple.

Il est remarquable que la surface la plus simple possédant une ligne multiple jouisse de la propriété singulière que nous étudions ici. Cette surface est la surface réglée du troisième ordre dont nous indiquons ici la forme {fig» i8). Si l'on part du point m en suivant le chemin mkl\ksrm^ on reviendra au point de départ après avoir changé de côté (*).

(*) Cet exemple nous avait été indiqué par H. -S. Smith, professeur Savilien à Oxford, dont tous les géomètres déplorent la mort prématurée. Les différentes surfaces réglées du troisième ordre sont les transformées homographiques de celle qui est représentée par l'équation

zx* = y'.

La figure se rapporte à la surface dont Téquation est

x*{i — z) — zy*.

A. cet exemple si simple d'une surface réelle n'ayant pas de côté on peut en ajouter beaucoup d'autres très généraux.

Prenons, par exemple, une courbe fermée réelle (K) choisie de telle manière qu'elle admette seulement un nombre limité de couples de tangentes parallèles. Si l'on part d'un point quelconque A de cette courbe avec un sens déterminé pour la tangente, la loi de continuité déterminera le sens de cette droite pour tous les autres

Fig. 18.

points de la courbe. Par conséquent, si x^ r, z sont les coordonnées d'un point de la courbe, -^> -J-i ~ seront des fonctions

parfaitement déterminées en chaque point réel de la courbe. Soient maintenant M, M' deux points quelconques de la courbe et prenons le lieu des milieux de la corde MM'. La normale au point milieu de MM' aura pour cosinus directeurs

dy dz' dz d/ dz dx' dx dz' dx dy' dy dx' ds ds' ds ds' ds ds' ds ds' ds ds' ds ds'

A désignant la quantité

=tM

dx dv' dv dy' dz dz'

ds ds'

dv^dy ^dz dz^y ds ds' ' ds ds I

que nous prendrons, par exemple, avec le signe +. Faisons maintenant tourner la corde MM', de manière que M vienne en M' et M' en M, mais en évitant, ce qui est toujours possible, la coïncidence de M et de M' et aussi les positions de la corde en nombre limité, pour lesquelles les tangentes en M et en M' sont parallèles

Nous suivrons sur la surface lieu des milieux un chemin réel pour chaque point duquel le plan tangent sera bien déterminé et, quand nous reviendrons au point de départ, Téchange de M et de M' aura fait changer le signe des cosinus directeurs de la normale (*).

232. Considérons maintenant une surface minima double algébrique ou du moins non périodique, et soit

Inéquation du plan osculateur de la courbe minima au moyen de laquelle s'engendre la surface. Soient M, M| deux points de cette courbe. Le milieu m de la corde MM| décrira la surface considérée. Soient u et W| les valeurs du paramètre u relatives aux points M et M|. Les cosinus directeurs de la normale en m auront pour expressions

I — UUi . I -H UUi u -i- l/j

U — Wj U — Ui u — Ui

et ils ne seront réels (n° 15) que si l'on a

wi = 7»

u étant rimaginaire conjuguée de u. De plus, dans le cas qui nous occupe, où la surface n'est pas périodique, il faudra, pour que le point m de la surface soit réel, que Ton associe à la détermination /o(w) de /{u)f relative au point M, une détermination fo(Ui) de /{ui) complètement définie par cette condition que le point M| soit imaginaire conjugué de M. Ainsi, à chaque système de valeurs de u et de /(u) correspond un point réel de la surface et un seul.

Faisons maintenant varier u de telle manière qu'il devienne

( ' ) On rapprochera les remarques que nous avons présentées dans cet article de celles que Laguerre, notre regretté confrère et ami, a développées dans une suite de travaux intéressants sur la Géométrie de direction. ( Voir, en particulier, le Mémoire Sur la Géométrie de direction publié en 1880 dans le tome VIII du Bulletin de la Société mathématique de France, p. 19G, et différents articles insérés dans les Comptes rendus en i88i| i88a et i883. )

égal à Ui et choisissons, en outre, pour cette variable complexe, un chemin tel que la détermination primitive /o(tt) def(u) devienne égale à la détermination primitive /o(wi ) de f{ui ). Le point M de la courbe minima sera venu coïncider avec le point imaginaire conjugué M| et, par conséquent, le point Mj sera venu en M. On reviendra donc au même point m de la surface minima. D'ailleurs, dans le chemin réel que Ton aura suivi sur la surface, les cosinus directeurs de la normale auront varié d'une manière continue ; car

on n'a jamais

U = Ui,

c'est-à-dire

uu' -^i = o.

Quand on reviendra au point de départ, on aura échangé les valeurs de u et de W| ; les cosinus directeurs de la normale auront changé de signe, comme le montrent les expressions données plus haut de ces cosinus, et l'on se trouvera sur le côté opposé à celui d'où l'on était parti (*).

( ' ) ScniLLisG, Die Minimaljlàchen fiinfter Klasse mit dem Stereoscop'BHd ei(ies Modells derselben. GœUinguc, 1880.

Cet inlércssant travail conlicnl non seulement une démonstration de la proposition que nous venons d'établir, mais encore une élude très détaillée de la surface de M. Henneberg. M. Schilling en détermine l'ordre, la classe, les singularités principales et il montre qu'elle est le lieu des milieux de la courbe minima définie par les équations

Elle correspond à la valeur

de la fonction de M. Weierstrass. Cela nous conduit à signaler les surfaces doubles correspondantes à la valeur plus générale

où p désigne un nombre impair.