CHAPITRE VIL
Détermination de la classe et de Tordre de la surface minima algébrique engendrée par la translation de deux courbes minima données. — Application au cas particulier où la fonction /(^^) est rationnelle. — Détermination de la surface minima réelle, simple ou double, de la classe la moins élevée. — Points à l'infini des surfaces minima. — La section de la surface par le plan de l'infmi se compose exclusivement de droites simples ou multiples. — Points multiples à distance finie. — Surfaces minima à point conique.
233. Après avoir exposé, en suivant les méthodes de M. Lie, la solution des problèmes les plus élémentaires de la théorie, nous allons indiquer comment cet éminent géomètre a déterminé Tordre et la classe d'une surface minima algébrique, lorsqu'on suppose données les deux courbes minima dont la translation peut engendrer la surface.
La détermination de la classe repose sur le théorème suivant, qui est un cas particulier d'une proposition générale déjà énoncée au n° 84 et relative aux surfaces engendrées par la translation d'une courbe invariable.
La développable circonscrite à la surface en tous les points del une des courbes minima dont la translation engendre cette surface est un cylindre dont les génératrices vont rencontrer le cercle de V infini.
Soient (y) la courbe minima donnée, m un de ses points et (yi) la seconde courbe minima de la surface passant par le point m. La tangente en m à (yi ) est une des génératrices du cylindre circonscrit suivant (y).
Ce point étant rappelé, considérons le cône circonscrit à la surface ayant pour sommet un point quelconque [jl du cercle de l'infini; soit [jL/71 une génératrice du cône, tangente en m à la surface. 11 passe en m deux courbes minima de la surface (y), (yi) dont
l'une, que nous désignerons par (y« ), est tangente à [xm; et il résulte du théorème précédent que la développable circonscrite à la surface suivant (y) est un cylindre dont les génératrices sont parallèles à [Ji/n, c'est-à-dire un cône de sommet [jl. Donc :
Le cône circonscrit à la surface minima, ayant son sommet en un point quelconque du cercle de Vinjini, se décompose en cônes plus simples dont chacun est circonscrit à la surface suivant une coUrbe minima.
Ce point étant admis, commençons par considérer une surface simple et soit [jl un point du cercle de l'infini. Désignons par (K) et (K') les deux courbes difierentcs dont la translation peut engendrer la surface. Les génératrices du cône circonscrit suivant une des positions de (K') sont tangentes aux diverses positions de la courbe (K). Le nombre des cônes de sommet [x, circonscrits chacun suivant une des positions de (K'), sera donc égal au nombre des tangentes que l'on peut mener du point [jl à l'une des positions de la courbe (K). Ce nombre, que nous désignerons par M, est évidemment l'ordre de multiplicité du cercle de l'infini sur la développable formée par les tangentes de (K). Il y a donc M cônes de sommet [x circonscrits suii^ant une des positions de (K') et M' cônes de même sommet circonscrits suivant une des positions de (K), M et M' désignant les ordres de multiplicité du cercle de r infini sur les développât les formées par les tangentes aux deux courbes, La classe de la surface sera celle de cet ensemble de cônes.
Envisageons l'un des cônes circonscrits suivant une position de ' (K'), par exemple, et soit (rf)une droite quelconque passant par le sommet [jl de ce cône. Pour qu'un plan tangent à ce cône contienne la droite (rf), il est nécessaire et suffisant que la tangente à la courbe (K'), menée au point de contact de ce plan et de la surface minima, rencontre la droite (d) en un point situé à distance finie. La classe du cône est donc égale au nombre des tangentes de (K') qui viennent rencontrer la droite (d) à distance finie. Or ces tangentes forment une développable dont l'ordre, que nous désignerons par R', a reçu, comme on sait, le nom de rang de la courbe. Cette développable est déjà coupée par la droite (d) au point [x, qui est multiple d'ordre M'. Elle rencontrera
donc la droite (d) en R' — M' points à distance finie et, par suite, la classe du Cône considéré sera
On trouvera de même R — M, R étant le nombre analogue à R', pour la classe du cône circonscrit suivant une position de la courbe (K). La classe de la surface, c'est-à-dire celle de l'ensemble des cônes définis précédemment, sera donc
Tel est le nombre obtenu par M. Lie.
Dans le cas où la surface minima est double, il n'y a plus lieu
de distinguer deux séries de cônes circonscrits et la classe devient
égale à
IVHR — M),
les nombres R et M se rapportant à la courbe unique dont la translation engendrera deux fois la surface.
Si la surface est simple et réelle, les deux courbes dont la translation engendre la surface sont imaginaires conjuguées. On a évidemment
et la classe de la surface sera
On voit que toutes les surfaces minima réelles dont Tordre est premier ou impair sont nécessairement doubles.
Nous signalerons une relation d'inégalité à laquelle satisfont les nombres R et M relatifs à toute courbe minima. La développable formée par les tangentes à cette courbe est coupée par une droite située à l'infini en deux points au moins, qui sont situés sur le cercle de l'infini et sont multiples d'ordre M. On a donc
Il résulte de cette inégalité que, dans l'expression M(R — M) de la classe d'une surface double, le plus grand facteur ne peut être que R — M. Si la classe est un nombre premier /?, on aura nécessairement
ce qui donne
234. Passons maintenant à la détermination de Tordre de la surface, qui se fait d'ailleurs d'une manière moins précise. Nous couperons la surface par une droite (rf) assujettie à la seule condition de ne pas rencontrer la surface à l'infini. Supposons d'abord, pour plus de netteté, que cette droite ait été choisie pour axe des z. Ses points d'intersection avec la surface seront déterminés par
les deux équations
A('^ ) — Ai(t) — o,
Si l'on construit les deux courbes planes définies par les équations
(Y) :r = A(0, y^-li(t)
et
le problème sera ramené à la recherche de ceux de leurs points
communs qui sont à distance finie. Soient (K) et (R') les deux
courbes dont la translation engendre la surface. La courbe (y)
sera la projection de (K) sur le plan des xy,(^) sera la symétrique,
par rapport à Torigine, de la projection de (K') sur le même plan.
Les ordres de (y) et de (y') seront les mêmes, en général, que
ceux de (K) et de (K'). Si donc nous désignons ces ordres par m et
m'j le nombre des intersections cherchées, égal à l'ordre de la
surface, sera, en général,
mm'.
Toutefois, si les courbes (R) et (R') ont des points communs à l'infini, il en sera de même de leurs projections. Soit (o le nombre des points à l'infini que l'on déterminera par les méthodes connues ( ' ). Dans ce cas l'ordre de la surface sera
mm' — 0).
(*) Voir, en particulier, les diflférents travaux de M. Halphen insérés dans le Bulletin de la Société mathématique de France, le Journal de Liouville et la traduction française des Courbes planes de M. Salmoo.
LES SURFACES MINIMA ALGÉBRIQUES. SGq
Enfin, si la surface est double, chaque point de la surface correspondra à deux systèmes de valeurs de t et de t, car les véritables paramètres de chaque point sont les fonctions symétriques ^ + t, t'z (n® 224). Le nombre précédent devra être réduit de moitié et Tordre aura pour expression
- ( mm — w).
Si Ton veut éviter le changement d'axes, qui consiste à prendre
pour axe des z la droite donnée, on écrira les équations de cette
droite sous la forme
X — mz -\- p,
y = nz-hq,
et Ton sera conduit à considérer le système
A(/)-+-A,(T) = //i[G(0-+-G,(T)]-u/,, B(0-+-Bi(-)= nli:{t)-\-Ci{'z)]-^q,
c'est-à-dire à déterminer le nombre des points d'intersection des deux courbes.
(a) x= k(t) — mC(t)-- p, y = B(t) — nC(t)^g
et
(3) X = mCi(T)- A,(-:), y = nCii-z) - Bi(':).
Les résultats précédents, relatifs à l'ordre et à la classe, peuvent être vérifiés dans chacun des exemples que nous avons étudiés. Considérons, par exemple, la surface d'Enneper. Les courbes (K) et (K.') sont ici des cubiques gauches définies par les équations
^' =ih e(3a H- M^),
On a
M'=M = i, R = R' = 4, m = /w'r^3, co = o.
La surface est simple, d'ailleurs; son ordre sera 9 et sa classe 6, comme nous l'avons déjà reconnu (n" 207).
235. M. Lie a fait une application détaillée des méthodes pré-
cédentes aux surfaces engcndn^es par des courbes minima dont les langentes forment une développable contenant une seule fois le cercle de Tinfini.
Si Ton prend Téquation du plan osculateur à la courbe minima sous la forme
( 4 ) (i — u^)x-^ i(i-h u^)f ^^uz -¥■ ^./( m) = o,
/{u), étant ici une fonction algébrique de w, sera déterminée par une équation de la forme
Le degré de cette équation par rapport à /(ii) donne évidemment Tordre de multiplicité du cercle de l'infini sur la développable dont la courbe minima est Taréte de rcbroussement. Dans le cas que nous voulons étudier, celte équation sera donc du premier degré et /{u) sera une fonction rationnelle de u. Les résultats obtenus au n" 198 en ce qui concerne la transformation des coordonnées nous montrent d'ailleurs que, si les axes sont quelconques, le degré du numérateur de/{u) sera supérieur de deux unités seulement à celui du dénominateur. On pourra donc poser
(5) /(f0^aa«-f-?/.-i-Y-+-yr ^'""'^ -^ , '^''"'^-' , +...-1- -^^-1,
les termes du second degré n'auront aucune influence sur le résultat et peuvent même être supprimés si l'on imprime à la courbe une translation convenablement choisie.
Si l'on substitue cette valeur de /(w) dans l'équation (4), on volt qu'il passera, par chaque point de l'espace, des plans tangents de la développable en nombre égal à
(6) C = I,mi-\- 2.
Ce nombre est la classe de la courbe : son expression ne nous est pas nécessaire, mais elle interviendra pour simplifier les formules.
Si l'on substitue les valeurs de /(w), /'(w), f"{u) dans les formules (5) [p. 342] qui donnent les coordonnées x^ y, z d'un point de la courbe, on reconnaît immédiatement que les termes en
u — ai )'«i^-» ( w — «1 ;"*»-^' '
figurent dans les expressions de x^y, z. La courbe est donc unicursale, et le degré du dénominateur commun de a:, j*, z sera
q étant le nombre des racines «|. Comme les numérateurs de x^ j\ z sont de degrés égaux ou inférieurs à celui du dénominateur commun, Tordre O de la courbe minima sera
Proposons-nous maintenant de déterminer le rang de la courbe, c'est-à-dire le nombre des génératrices de la développable qui rencontrent une droite donnée.
Une génératrice de la développable est définie par les deux, équations
( I — M* ) j: -h t( I -f- m' \y -h:tuz -h if( u ) -- o, — ux -f iuy -^ z -h /"'(m) =0.
Si Ton exprime qu'elle rencontre une droite donnée par les équations
Cx — \z = B\ AA' -h BB' -h ce = o, ky- Bx = C',
on est conduit à une équation de la forme
A[(i-M»)/(u)-H2M/(a)]-4-Bt[(i-+-w»)/'(w)-2w/(a)]
2C[m/(m)— /{w)]-+-A't(i-w')-B'(r4-a»)-4-2iC'a=o,
dont le degré donnera le rang cherché. Il suffit de se reporter à l'expression de f{u) pour reconnaître que ce degré est
Telles sont les formules qui font reconnaître les deux nombres dont dépendent l'ordre et la classe de la surface minima.
236. Proposons-nous, par exemple, de déterminei:, parmi les surfaces que nous étudions, celles qui ont la classe la plus faible.
Supposons d'abord qu'il s'agisse de surfaces simples. La classe sera égale à
2[Sm/-+- y H-i];
3y2 LIVRE III. — - CHAP. VII.
q et m étant au moins égaux à i, il faut prendre
q — m = i ; on aura donc
fUi)— ^ aM«H- 3w-f- Y-
C'est la valeur de/(u) qui correspond à la surface d'Enneper.
Si Ton veut obtenir les surfaces de huitième classe, il faudra
prendre
Cette équation admet Tunique solution
7=1, fUi— -2,
qui donne
-^ ^ ^ (a — a)- Il — a * *
L'ordre de la surface correspondante sera i6.
237. Proposons-nous maintenant de rechercher les surfaces doubles réelles les plus simples. L'équation à laquelle satisfait la fonction /(f/)(n« 227)
fin) ^^'(-\)
nous montre que, dans ce cas, à chaque infini ai correspondra un
infini ? de même degré de multiplicité, a\ désignant la conju-
guée de a/. Les nombres nii étant deux k deux égaux, la somme S//?i sera paire, ainsi que le nombre q, La classe
sera donc toujours un nombre impair et, comme on a évidemment
la classe sera au moins éirale à 5. La surface double réelle la plus simple correspond donc à Thypothcse
7=2, //Il = 7/12 = 1.
LES SURFACES MINIMA ALGÉBRIQUES. SjS
On obtient ainsi, nous allons le reconnaître, la surface de M. Henneberg.
Au reste, on peut obtenir très simplement sous sa forme la plus générale la valeur de f{ii) qui correspond aux surfaces doubles réelles.
Nous avons vu, en effet, qu'à chaque infini a/ correspond un
infini :• Choisissons dans chaque groupe, d'une manière arbi-
traire, l'un des infinis a/, ^ el réunissons tous les termes qui
correspondent à ces infinis. Si nous désignons par y (w) l'ensemble de ces termes, la fonction
où Çi désigne la conjuguée de '^, satisfera encore à l'équation fonctionnelle qui caractérise les surfaces doubles
nu)^'\ u) ^
Il I
mais, comme elle ne contient plus les infinis a/, elle ne pourra
pas contenir non plus les infinis 7 et se réduira, par conséquent,
à un polynôme du second degré que déterminera l'équation fonctionnelle précédente et qui sera de la forme
a(l — W*) H- 1^(1 -f- U^)-\- 2CUj
a, by c désignant trois constantes réelles. On pourra le faire disparaître, ï>i l'on veut, par une translation réelle et l'on aura, dans tous les cas, l'expression
/(a) =o(a)— w»«p, / — 1 j -+-a(i — M»)-M;6(i-f- m*)-i-2CW,
qui définira toutes les surfaces doubles réelles.
Dans le cas de la surface de M. Henneberg, on peut, en choisissant convenablement les axes, prendre
374 LIVRE III. — cnAP. vu.
a étant réel, et Ton aura
(9) /"(") ~ - -f-rtM'.
Si Ton applique à celte surface les méthodes indiquées plus haut pour la détermination de Tordre, on reconnaîtra sans difficulté que les courbes désignées au n" 233 par (y), (yO sont ici symétriques Tune de l'autre par rapport à Torigine et qu'elles sont de Tordre 6. Les points à Tinfini étant des points simples d'intersection, il restera 3o points d'intersection à distance finie et Tordre de la surface s Ta, par suite, égal à i5.
238. Considérons une courbe minima (K), pour laquelle on connaît les nombres R, M. Si on la transforme par inversion, on obtiendra une nouvelle courbe minima (K,); soient R| et M| les nombres relatifs à cette courbe.
Une droite (rf) rencontrant le cercle de Tinfini coupe la développable formée par les tangentes de (K) en R — M points. L'inversion transforme la droite (rf) en une droite (rf|) rencontrant également le cercle de Tinfini*, elle transforme la développable formée par les tangentes de (K) dans la développable formée par les tangentes de (R| ). On aura donc
D'autre part, considérons un cercle passant par le pôle de Tinversion ; il coupera la développable formée par les tangentes de (K) en 2R points; deux de ces points sont sur le cercle de Tinfini et comptent chacun pour M; enfin d'autres, en nombre que nous désignerons par Û, sont confondus avec le pôle. Le cercle coupera donc la développable en
points a distance finie et ne coïncidant pas avec le pôle.
Si Ton applique maintenant Tinvcrsion, le cercle se transforme en une droite quelconque et le nombre précédent devient le rang de la courbe (Ki ). On a donc
Ri= aR — 9JVI — 12.
La valeur de R| sera, dans tous les cas, positive et supérieure à
quatre, car il n'existe pas de courbe dont le rang soit inférieur à ce nombre; Û est nul si le pôle est quelconque, mais il devient égal à deux si ce pùle a été pris sur la courbe (K). On a donc, dans tous les cas,
ou
Cette inégalité met en évidence les résultats suivants, qui sont dus à M. Lie.
La classe d'une surface minima simple
M(R' — M'")-hM'(R — M)
est au moins égale à
c'est-à-dire au moins égale à 6. Parmi les surfaces simples, la surface d'Enneper est donc celle dont la classe est la plus faible. La classe d'une surface minima double
est toujours supt''ficure à 3 M, c'est-à-dire à 3.
Si l'on considère une cubique gauche qui soit une courbe minima, elle donne effectivement une surface double de troisième classe, mais cette surface est imaginaire. En effet, une courbe minima ne peut être identique à sa conjuguée que si elle est coupée par un plan réel quelconque, en des points imaginaires conjugués deux à deux. Elle doit donc être nécessairement d'ordre pair, si la surface double, lieu des milieux de ses cordes, est réelle.
Si l'on veut que la classe de la surface soit égale à 4) il faudra, R — M étant supérieur à 3, que l'on ait
Il existe effectivement une courbe minima répondant à la quesion. Mais nous avons déjà vu que, dans le cas où M rrz i , la surace double réelle la plus simple est celle de M. Henneberg.
Ainsi, il ny a pas de surface double réelle de classe infé- / ieurc à 5 .
239. Renvoyant, pour plus de détails, en ce qui concerne la déermination des surfaces minima de classe ou de degré donné, au
376 LIVRE m. — CHAP. VII.
Mémoire de M. Lie, nous terminerons ce Chapitre en étudiant les nappes infinies des surfaces mininia algébriques.
Dans un Mémoire inséré aux Mathematiscke Annalen (*) M. Geiser avait établi, par une méthode intéressante et féconde, que la section de toute surface mininia algébrique par le plan de rinlini ne peut se composer que de lignes droites et du cercle de rinfîni. M. Lie s'est servi du mode de génération qui Ta guidé dans ses belles études [)Our démontrer cette proposition et la rendre plus précise encore.
Considérons en effet la surface mininia comme le lieu des milieux des segments dont les extrémités M, M| décrivent respectivement deux courbes iiiinima (F), (1^). Tant que les points M, M| sont à distance finie, il en est de même du milieu du segment MMj. Si l'un des poinls. M, par exemple, s'éloigne seul à rinfini, le milieu du segment s'éloigne à l'infini et vient à la limite coïncider avec Mj. Supposons maintenant que les deux points M, M| s'éloignent simultanément à l'infini et viennent coïncider respectivement avec deux points m, m^ des deux courbes (r), (Fi), situés nécessairement sur le cercle de Tiufini. Si les points 7/2, m\ sont distincts, le milieu de mm^ sera indéterminé et pourra occuper toutes les positions sur la droite ninis (-). Nous obtenons ainsi ce premier résultat :
(') Geisf.r (C.-F. )> I^'otiz ùber die al gebraischen Minimumsjlàchen {MathematUche Annalen, t. III, p. W^o\ 1870).
(') Soient, en effet, x, y y z, /; x', v', z\ t' les coordonnées cartésiennes homogènes des deux points M, M,. Lorsqu'ils tendent vers leurs positions limites m, m,, ces coordonnées auront pour valeurs liniilcs x^, y^y 5^, o; a/^, y'^, z'^, o. Cela posé, les coordonnées homogènes du milieu de MM, ont pour expressions
\ = x/'-h tx\ \ = yt'-^ty\ Z= zV -htz\ T -2U'.
Faisons tendre / et /' vers zéro, de telle manière que Ton ait toujours
X désignant une constante. Les coordonnées de X, Y, Z, T divisées par t auront pour limites les valeurs suivantes :
qui contiennent l'arbitraire X et dédoisscnt un point quelconque de la droite mm^.
Toutes les droites obtenues en joignant un point à U infini de {Y) à un point de (Fi) situé aussi à U infini et distinct du premier appartiennent à la surface.
On reconnaît ainsi que, si les deux courbes (F), (F|) coupent le cercle de Finfini en des points distincts les uns des autres, la section de la surface par le plan de Finfini se composera exclusivement des droites qui joignent les points à Finfini de la première courbe aux points à Finfini de la seconde. Si m et m' désignent les ordres des deux courbes, ces droites seront au nombre de mm'. Comme, dans ce cas, Fordre de la surface est précisément égal à m/?i', il est évident que chacune des droites sera simple.
240. Il nous reste à examiner le cas où les deux courbes (F), (F|) ont des points communs à Finfini et où les deux extrémités du segment MM|, dont le milieu décrit la surface minima, viennent coïncider avec Fun de ces points.
Soit
(io) (i — a')^ -H i(i-+- a*)r -h 2«/-5 -4- 2/(m) = o
Féquation du plan osculaleur de la courbe (F). Enjoignant à cette équation ses deux premières dérivées par rapport à «/,
(i2) -.x-r-iy-^f''(u)-.o,
on aura les trois relations i|ui définissent, en fonction de w, les coordonnées d'un point de la courbe. Elles nous donnent
(i3) z-.iif{u)^f{u),
( X -h iy =— u^f'iu) -^ 'iu/'(u) — 2/(u), ou encore
1 X ^ iy — f^{u)du^
[ X -^ iy = ^ f u^ .' (u) du, en posant
r{u) = Hu).
Choisissons les axes de manière que le point m de (F) situé à
l'infini corresponde à Thypollièse u = o, et admettons que la courbe (F) soit algébrique ou, du moins, présente en ce point une singularité algébrique. Alors /{u) sera développable suivant les puissances croissantes de u et, si p et q désignent deux nombres entiers dont le second est positif, on pourra poser
Nous supposerons toujours qu'aucun des exposants ^ ne prend
Tune des valeurs o, i, 2. On peut toujours, en effet, supprimer les termes correspondants à ces trois valeurs particulières des exposants en ajoutant des constantes convenablement choisies à x, V, z^ comme le montre l'équation (10) du plan osculateur; et ces constantes pourront toujours disparaître dans les formules finales par une translation convenable des axes coordonnés.
En mettant à profit cette remarque, nous écrirons /(w) sous la forme
fi-,) A.^)-y .- —^ r -u '/ ,
Ad p^ / /> -H A \ //>-f-X ^ V
qui donne
(16; rf(M) = l^XW '/
et, par conséquent,
X A-iy ——y ^ — u 'f
Telles sont les expressions des coordonnées d'un point de la courbe en fonction de u.
Pour que le point m, correspondant à la valeur o de u, soit
LES SURFACES IflNIMA ALGÉBRIQUES. 879
rejeté à l'infini, il faudra que Tun au moins des termes qui figurent dans les expressions précédentes devienne infini pour u = o. On aura donc nécessairement
Mais il y a ici plusieurs cas à distinguer : 1° Si Ton a
f{u) et f'{u) deviendront nulles pour ii^^ o. La tangente en m à la courbe (F) sera définie parles deux équations (lo) et(i i), où Ton fera «/ = o et qui se réduiront aux suivantes
elle restera donc à distance finie; il en sera de même du plan osculateur qui est représenté par la première des deux équations précédentes.
2° Si l'on a
f'{ii) sera infinie, mais non/(u). Le plan osculateur en m, défini
par l'équation
