X -Jr- i\ — — I U'.liu) du — / a,-»*, («^,} c^w

^■■i p -r- h ^mk />j -I- A,

Le plan tangent au point (;/, //,) sera représenté (n'' 229) par Téquation

(20) X H- lY — MM,(X — tY)-i- (m -h «/,)Z-i- $ = o

et le calcul de \ donnera [n** 229, formule (18)]

ci,M 'f r 1^ M__ 1

'n^y}h'l[ r II ih "I

Il est à remarquer que l'on pourrait réduire à des polynômes les séries qui constituent les seconds membres des formules (19)

LES SURFACES IflNIMA ALGÉBRIQUES. 38l

et (21) en y supprîmanl tous les termes de degré positif, qui s'annulent et sont négligeables lorsque u et Ux deviennent infîniment petits.

242. Les formules précédentes élant établies, supposons d'abord qu'aucune des deux, courbes (F), (r^) ne soit tangente au plan de l'infini. On aura alors

Lorsque u et u^ tendront vers zéro, Z et X + iY auront zéro pour limite. Quant ùX — /Y, comme il présente plusieurs termes infinis, les uns contenant u^ les autres contenant U\^ il pourra prendre toutes les valeurs possibles. En égalant, eneffel, la valeur de X — i\ à une constante quelconque, on obtient une équation qui admet des solutions pour lesquelles u et U\ sont aussi petits qu'on le veut; car, si l'on y regarde u et Ui comme les coordonnées rectangulaires d'un poiut, cette équation de condition représente une courbe qui passe à l'origine des coordonnées.

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les points de la surface minima qui proviennent des points de (F) et de (F,) infiniment rapprochés de m ont pour lieu géométrique la droite

qui est tout entière à dislance finie. L'équation {0.0) du plan tangent se réduit à la suivante :

On voit qu'il est le môme pour tous les points de la droite (*).

(') Si l'on resliluc aux courbes (T), (TJ leur position la plus générale en leur imprimant des translations convenables, les résultats obtenus dans le texte donnent le théorème suivant, que Ton pourrait établir par la Géométrie :

Si les deux courbes (T), (T, ) ont en commun un point m du cercle de Vinfini et si aucune d'elles n'est tangente à ce cercle, les points de la sur/ace qui proviennent des portions des deux courbes infiniment voisines de m forment une droite située dans le plan des tangentes en m aux deux courbes et à égale distance de l'une et de l'autre. Le plan tangent en un point quelconque de cette droite est fixe; il contient à la fois la droite et la tangente en m au cercle de l'infini.

Supposons maintenant que Tune des courbes (F), (Fi) soit tangente en m au cercle de Finfîni, c'est-à-dire que Fune au moins

des fractions — > — soit inférieure à Funilé. Dans ce cas, les expres-

sions de Z et de X — iY contiennent, Fune et Fautre, des termes de degré négatif, et il arrivera généralement que Fune au moins de ces deux, quantités deviendra infinie quand u et u^ tendront vers zéro d'une manière quelconque.

Si une seule des fractions — > — est inférieure à Funité, la coor-

donnée Z deviendra certainement infînie quand u et U\ tendront

vers zéro. Si, au contraire, les deux fractions — > — sont Fune et

Fautre inférieures à Funité, X — i Y ne pourra demeurer finie que si les termes de degré le plus faible eu u et U\ sont du même ordre, c'est-à-dire si Fon a approximativement

P Pi

et, de même, Z ne pourra demeurer finie que si Fon a approximativement

Or ces deux équations ne peuvent être compatibles que si Fon a

P ^Pl^

et, même alors, comme elles sont de degrés difi'érents, 7.q — p et q — /?, par rapport à w, il y aura toujours des solutions de Fune qui ne conviendront pas à Fautre. On peut donc affirmer que, dans le cas où Fune au moins des deux courbes minima est tangente en m au cercle de Finfini, les points des courbes (F), (F,) infiniment voisins de m ne pourront donner de point de la sur-

R = El toujours des points de la sur/ace, situés à Vinfini, Il reste à

face à distance finie que si Von a -^ = ^ et auUls donneront

indiquer le lieu formé par ces derniers points. Or, si Ton se reporte à Téquation (20) du plan tangent écrite sous forme homogène

on voit que, u et Ui devenant nuls, la section de ce plan par le plan de Tinfini aura pour équations

Les points cherchés de la surface sont évidemment distribués sur cette droite, qui est la tangente en m au cercle de Tinfini. Réciproquement, chaque point de cette droite peut être obtenu pour des valeurs infiniment petites de u et de w^; car, à chacun

de ces points, correspond une valeur déterminée du rapport

^^ rT7 et Ton reconnaîtra, en répétant le raisonnement donné au

début de ce numéro, que ce rapport peut prendre toutes les valeurs possibles. Ainsi :

Toutes les fois que Vune des courbes (F), (Fi) est tangente en m au cercle de V infini, tous les points de la surjace situés à V infini et pros^enant des branches voisines du point m ont pour lieu géométrique la tangente en m au cercle de l'infini.

En réunissant les résultats précédents nous obtenons, par conséquent, la proposition suivante, qui est celle de M. Lie :

Lorsque les deux courbes (F), (F|) ont un point commun à r infini, les branches de ces deux courbes voisines de m ne peuvent donner de point à V infini de la surface que si Vune des courbes est tangente en m au cercle de V infini; dans ce cas, tous les points à l'infini de la surface ont pour lieu géométrique la tangente en m au cercle de l'infini,

213. Mais la méthode indiquée dans les numéros précédents nous permet aussi de résoudre une question nouvelle et, après avoir étudié la section de la surface par le plan de l'infini, de déterminer, quand ils existent, les points à distance finie de la surface qui peuvent provenir des points à l'infini situés sur les courbes (F), (F| ). Nous avons vu plus haut que cette circonstance ne peut se

384 LIVRE III. — ClIAP. Vlï.

présenter que si Ton a

P ^ Pi,

Supposons cette condition remplie, et reprenons les formules déjà démontrées

X — i\ = J rT( u )du-^ j '^1 ( «1 ) dux ,

Z =Ju^(H)du -1- fiii 5i ( M| ) dui, qui donnent

(22) dZ — ud{\ — i Y ) — ( w i — it ) .'ri(ui)dui.

Pour résoudre la question proposée, nous couperons la surface par le plan

où a désigne une constante quelconque et nous chercherons s'il existe, dans ce plan, un point de la surface à distance finie provenant de valeurs infiniment petites de u et de W|.

Si nous substituons la valeur a de X — lY dans la première des formules (19), nous aurons une relation entre u et //, qui nous donnera pour u un certain nombre de déveloj)penienls en série suivant les puissances positives de //|, développements dont les coefficients pourront contenir a, à partir d'un certain rang. II faudra que Tune au moins de ces valeurs de w, portée dans les expressions de Z et de X-h«Y, donne des développements de ces quantités demeurant finis pour ;/, ::^ o et ne contenant, par conséquent, aucune puissance négative de W|. Si l'on se reporte à la formule (22) et si Ton y fait

X — ^* Y = a, fi( X — /Y ) = o, on en déduira

Tous les termes de Z étant, par hypothèse, de degré positif, -^—

ne contiendra que des termes de degré supérieur à — i et, si Ton

remarque que le degré de rT,(//, ) est — — 3, on est conduit à rinégalilé

a(îi'rc (U — Ui ) — - - — 3 > — i ,

LES SURFACES MINIMA ALGÉBaïQUES. 385

qui donne

(23) u — a| = Owj ^',

6 étant une fonction de Us qui s'annule pour U\ = o.

Portons la valeur de u tirée de Téquation précédente dans les expressions de Z et de X H- îY, On a

a 7 = WjV \i-+-ea, 7»; '^

6' étant, comme 0, une fonction qui s^annule pour Ui = o. On voit donc que, dans tous les termes de l'expression (19) de Z contenant u^ on pourra remplacer u par w,, en négligeant seulement des quantités qui s'annulent pour ii^ = o et peuvent être supprimées. On aura ainsi la valeur approchée

Z = / W,[efl(Ml)H-cT(Wl)] dUi,

et un raisonnement analogue donnera de même

Pour que Z reste finie, il faudra que tous les termes de degré négatif en u^ se détruisent mutuellement. Si donc on pose

<ï> et <Ï>| contenant tous les termes de degré inférieur à — 2, il

faudra que Ton ait

Telle est la condition cherchée. On reconnaîtra aisément qu'elle est suffisante et que la somme X -f- lY demeure aussi finie. En réunissant les résultats précédents, on obtient la proposition suivante :

Pour que les points à l^injini des deux courbes (F), (Fi) donnent des points de la surface situés à distance finie j il faut et il suffit que les ternies de degré inférieur à — 2 dajis les D.— I. 25

3?^ LivâE III. — cBir. vu.

f'jnclions ^ w . >, u soie ni deux à ânux tuavj- et de signes contraires. Si cette condition est remplie, les p^yints à distance finie ^ui proviennent des deux (/m ne /te s infinie* considérées de Y . Fi seront distribués sur une droite passant par le point du cercle de l'infini qui est commun à ces deux branches.

Pour lermioer rétude de celle qiieslion. iî taudrail rechercher l'ordre de mulliplicilé des différenles droilos de la surface siluëes soil à rinfini. soil à dislance tioie. qui provienoenl des branches infinies de • F • el de « F, •. Mais il suffira, pour obtenir ces ordres de mulliplicilé. d'appliquer les méthodes connue^.

211. Il nous resle à dire quelques mots des points multiples el d 'S lignes multiples des surfaces minima.

La surface minima la plus ;;énérale. avant été définie par M. Lie comme lieu géom^'lrique du milieu d'un segment dont les extrémités décrivent les courbes .F», «F, , a, sénéralement, une ligne double, lieu des points qui sont les milieux de deux segments, et des points triples, situés sur cette ligne double, qui sont les milieux de trois segments différents. Sans nous arrêter à l'étude des singularités de ce genre, qui sont en quelque sorte normales, nous dirons quelques mots des surfaces minima qui admettent des points coniques.

Pour que la surface minima ait un point conique O, il faut el il suffit que ce point O soit le milieu d'une infinité de segments, c'està-dire que les deux courbes tF), tF,^ soient s\ métriques l'une de Fautre par rapport au point O. Cette proposition montre immédiatement comment on engendrera les surfaces minima à point conique. II suffira de prendre pour la courbe <F|') la svmétrique de <T»par rapport à un point déterminé. Ln raisonnement géométrique très simple permet d'ailleurs de reconnaître que le cône des tangentes au point multiple est exclusivement formé des droites qui vont rencontrer le cercle de l'infini ('V

(* j Voir au sujet des points coniqui^s, rarliclc déji cili' do M. Gciser {MathematUche Annaien, l. III). Il peul arriver o\copti<iniicliciiiont, si la courbe (r)a dfs points doubles, que le p«'>int conique soil sur U ligne double de la surface; al'^n, au cône indiqué dans le texte viennent s'ajouter un uu plusieurs plans langeots.

LES SURFACES lilNIMA ALGÉBRIQUES. 38;

La théorie des surfaces minima à point conique se rattache immédiatement à celle des surfaces doubles. Nous avons vu au n" 210 comment on passe d'une surface minima à son adjointe. Les résultats analytiques déjà signalés peuvent s'interpréter comme il suit :

Etant donnée une surface minima y lieu des milieux des segments dont les extrémités s'appuient sur les deux courbes (F), (F^), soient (F'), (FJ les hoîno thé tiques de (F), (F,) respectivement, prises par rapport au même pôle O, avec des rapports d^homothétie respectivement égaux à -\- i et à — i, La surface adjointe est le lieu des milieux des segments dont les extrémités décrivent les courbes (F'), (Fj).

Par suite, si les deux courbes (F), (F,) sont symétriques l'une de l'autre par rapport au point O, les courbes (F'), (F'^) seront identiques et vice versa. On est ainsi conduit au théorème suivant :

Pour obtenir toutes les surfaces à point conique, il suffira de prendre les adjointes des surfaces doubles.

On voit ainsi qu'il y a des surfaces réelles à point conique et Ton sait comment on les obtiendra. Le lecteur déduira facilement de ce qui précède la construction suivante :

Pour obtenir V adjointe de la surface double lieu des milieux des cordes d'une courbe minima (D), on mènera par le point fixe O des parallèles à ces cordes, d^une longueur égale à la longueur de la corde multipliée par i. Les extrémités de ces parallèles décriront la surface cherchée, qui aura le point O pour point conique.