LES FORMULES DE M. SCHWARZ

Délerraination de la surface minima tangcnle à une développable donnée suivant une courbe donnée. — Application à ce problème des résultats généraux que la théorie des équations aux dérivées partielles doit à Cauchy. — Formules de M. Schwarz. — Leur démonstration par M. Lie. — Surfaces minima passant par une droite réelle; la droite est toujours un axe de symétrie de la surface. — Surface minima réglée, détermination nouvelle de cette surface. — Surface minima passant par une courbe plane. — Cas où cette courbe doit être une ligne de courbure ou une ligne géodésiquc. — Théorénjc de MM. Ilenncberg et Lie. — Surface minima admettant une conique pour ligne géodésiquc.

2io. Dans les Chapitres précédents, nous avons développé les propriétés les plus simples des surfaces minima. Il nous reste à indiquer comment on peut déterminer une surface minima satisfaisant à des conditions données. Nous examinerons en premier lieu le problème suivant : Déterminer la surface minima passant par un contour quelconque donné et admettant en chaque point de ce contour un plan tangent donné.

Nous ferons connaître d'abord ce que nous apprennent, sur la solution de ce problème, les propositions générales relatives à l'intégration par les séries des équations aux dérivées partielles. Ces propositions, que Ton doit à Cauchy (*), peuvent être appliquées à Téquation aux dérivées partielles

(i-r- q^)r — ipqs -h ( n- />2 ) / = o,

qui caractérise les surfaces minima. Elles permettent de dé-

(') Les recherches de Cauchy sur ce sujet sont exposées dans différentes Nofes insérées en i8'|*j aux tomes XIV et W des Comptes rendus. On pourra consulter aussi un 'travail beaucoup plus récent, publié en 1870 par M"» de Kowalewski sous le titre : Théorie der partiellen Diffcrenlialglcickungen {Journal de C relie, t. LXXX, p. i).