LES FORUULKS DE M. SCHWARZ

montrer qu'il existe, en général, une de ces surfaces, et une seule, passant par une courbe donnée et admettant, en chaque point de cette courbe, un plan tangent donné qui passera nécessairement par la tangente à la courbe ; ce problème n'est impossible ou indéterminé que dans le cas où la courbe est une caractéristique de Téquation aux dérivées partielles, c'està-dire une courbe minima. Mais la solution que Ton obtient ainsi, en suivant les méthodes de Cauchy, exige que les coordonnées d'un point de la courbe, ainsi que les valeurs de p et de q en ce point, puissent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances d'un paramètre et puissent, par conséquent, être déterminées aussi bien pour les valeurs imaginaires que pour les valeurs réelles de ce paramètre. Elle cesserait d'être applicable si le contour se composait de portions de différentes courbes analytiques, ou si la loi de variation des plans tangents s'exprimait par des fonctions différentes en différentes parties de la courbe. Remarquons enfin que Texislence seule de la solution est démontrée, puisqu'on ne connaît pas la loi des séries au moyen desquelles l'intégrale est obtenue.

Il est facile de prévoir que, lorsqu'on aura obtenu, par un moyen quelconque, l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles, la solution du problème posé par Cauchy deviendra relativement facile, puisqu'elle exigera seulement la détermination des deux fonctions arbitraires d'une seule variable contenues dans l'intégrale générale.

Comme nous l'avons déjà indiqué, le problème qui consiste à déterminer la surface minima passant par un contour donné et y admettant en chaque point un plan tangent donné a été résolu pour la première fois par Bjorling et M. O. Bonnet. Les méthodes suivies par ces deux géomètres exigent seulement l'emploi des quadratures. Nous allons faire connaître ici celle que l'on doit à M. Schwarz (*) et qui repose sur l'emploi des formules démontrées au n** 212.

246. Nous avons vu que, si x, i', z désignent les coordonnées

(') Miscellen^ etc., § V, p. 291.

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d^un point quelconque d'une surface minlma et X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale en ce point, les coordonnées ^05 J'o-. ^0 du point correspondant de la surface adjointe seront déterminées par les formules

( I ) cItq — Y ciz — Z dji clyo —Tdx — \ dz^ dz^ —y^dy — Y dx^

où les seconds membres sont tous des différentielles exactes. Par suite, si Ton se reporte aux expressions (i), (4) [p. 822 et 323] de X, j', z\ ^oî J'o> ^Oî on voit que Ton aura

/ T — / Xo = T -^ ij( Zdy — \ dz) — ik{t), (2) • } —Ivo ^y -^ i f{\ dz — Z dx) = 'iB(t),

f z — izo = z -+- if( Y dx — \ dy) — 2C(0»

et de même

[ T -h Lxq = X — if{ 'Ldy — \ dz) =- 2 A i (x),

(3) y ^iy^^y—ij\\dz - Z ^J" ) r-. 2 B , ( T ),

' Z '\- îzq — ;: — i f{\ dx — X ^v ) = 2 Ci ( t ).

Soit (L) le contour donné ; quand on se déplace sur ce contour, x^ y y :ï ; X, y, Z deviennent des fonctions d\ine certaine variable X et les formules précédentes, où les intégrales de différentielles totales sont remplacées par des intégrales à une seule différentielle rfX, donnent les fonctions d'une seule variable A, B, C; A^, B|, C|, exprimées au moyen de X. Soient «l)().), i*iî()^), 3(X); 'îIm(^0^ 'iJî>4()v), 3|()x) les expressions ainsi obtenues. Si le contour (L) est réel et si les valeurs de x^y, >3; X, Y, Z sont fournies par des relations numériques ou des lois physiques qui ne permettent pas de déterminer ces variables pour des valeurs imaginaires de "k^ les fonctions el>, iil), 3, «A.|, \iî>4, S| seront incomplètement connues et les formules relatives à la surface

(4) <y = iii,(X)-f-iiiM(Xi),

permettront de déterminer seulement les points qui correspondent à des valeurs réelles de X et de ).|. Mais, si le contour (L) est une