LES FORMULES DE M. SCUWARX
courbe analytique, réelle ou imaginaire, et si les fonctions X, Y, Z, qui doivent déjà satisfaire aux deux équations
sont aussi des fonctions analytiques de X, c'est-à-dire si x, y, z\ X, Y, Z ont une signification déterminée aussi bien pour les valeurs imaginaires que pour les valeurs réelles de X, il en sera de même évidemment des fonctions -l>, \ib, G; -l.|, iU>i, 3^ qui devront être regardées comme complètement connues et fourniront la détermination complète des deux courbes minima dont la translation engendre la surface. En remplaçant ces fonctions par leurs valeurs dans les formules précédentes, on aura pour les coordonnées x', )', z^ d'un point quelconque de la surface les valeurs suivantes
(Y./C -'Ldy),
Zl
- = \- ^Z {\dj'--\dx),
"^o^'iî ^4 désignant les valeurs de x, y, z pour À = X| ti X21 ynt z^ les valeurs des mêmes variables pour). = X^. On pourra donner à).| et à X2 des valeurs imaginaires quelconques; en sorte que les points obtenus dépendront, comme cela doit être, de quatre paramètres réels.
Si le contour (L) est réel et si l'on désigne par \q la valeur de \ correspondante à un point réel déterminé du contour, on pourra prendre
(7) ; iii,(X) = ^. ^ i / {\dz~Zdr),
^^^^ = ^^î/ (Y^-^-xt/J),
et la partie réelle de la "surface sera définîepar les équations
x' = Sl(iX) = S{\a:-^il^ (Zdj^ -\dz)\,
y = S{(2\Sl) = A\x-^i f {\dz^Zdx)L
z' = Sliie) =Sl\ z -hi f (\djc-\dj)U
où Ton devra donner à "k une valeur imaginaire quelconque.
Il résulte évidemment de la méthode précédente que la surface définie par les équations (6) ou (8) est la seule qui puisse satisfaire à toutes les conditions posées et il reste seulement à démontrer qu'elle satisfait efiectivemcnt à ces conditions. Or, si l'on remarque que, d'après leur définition même, les fonctions ''l>()^), ..., Xi (X), . . . vérifient les relations
dX^ -h rfUÎ>« -f- d2^ = o, X ^l, -f- Y ^\ft> -h Z rfC = o, dX] -h ûfilbî -+- rf^î = o, X d^K^i -+- Y d}ii>i -^ZdZx^- o,
on reconnaîtra aisément: i** que la surface obtenue est une surface minima; 'x^ qu'elle passe par le contour (L) et y admet en chaque point le plan tangent donné; elle fournit donc bien la solution unique du problème proposé.
En résumé, la méthode de M. Schvvarz repose sur les deux propositions suivantes :
Une surface minima est pleinement déterminée quand on donne une courbe analytique tracée sur cette sur/ace et la courbe correspondante tracée sur la surface adjointe,
Lorsqu^on connaît sur une surface minima une cour^be (L) et les plans tangents en chaque point de cette courbe, la courbe correspondante de la surface adjointe peut être déterminée par de simples quadr^atures,
247. Dans son Mémoire sur les surfaces minima (*), M. Lie a donné pour les formules de M. Schwarz une démonstration nouvelle
(•) Mathematische Annalen, t. XV, p. 467.
LES FORMULES DE M. SCHWARZ. SqS
que nous allons faire connaîire, parce qu'elle peut être généralisée et appliquée à d'autres questions analogues.
Reprenons les équations d'une surface minima sous la forme générale
où les fonctions A, B, C; A<, B,, C| satisfont aux relations
(9) ciA^ -\- rfB* -+- dC^ = o,
(10) ^A}-f-^Bî-+-^GJ = o.
Pour que la surface contienne la courbe donnée (L), il faudra que, X, y, z désignant les coordonnées d'un point quelconque de celte courbe qui sont des fonctions connues d'un paramètre X, on puisse déterminer pour f et t des fonctions de \ satisfaisant aux trois équations
(11) a: = A-4-A,, 7=:B-hB,, >5 = G-hCi.
D'autre part, si X, Y, Z désignent les cosinus directeurs de la normale à la surface au point considéré (j*, Yj z) de la courbe (L), il faudra exprimer que le plan tangent contient les tarigentes aux deux courbes minima de la surface qui passent par ce point, ce qui donnera les deux équations
(12) X ^A -^ Y ^B H- Z ^G =0, (i3) X^A,H- YrfB,-+-ZrfG, = o,
qui, jointes aux précédentes, expriment toutes les conditions du problème. Différentions les équations (11) en supposant que l'on se déplace sur la courbe (L); on aura
/ ^r — rfA -4- rfA|, (ï4) I dy = cm H-^/B,,
( dz = dC -hdCt,
En vertu de ces relations et de l'équation évidente
\dx-hY df-¥- Z dz = o,
qui exprime que le plan tangent contient la tangente à la courbe (L), et qui doit être vériGée par les valeurs données de X, Y, Z, les deux équations (12) et(i3) se ramèneront Tune à l'autre, et
394 LIVRE III. — CIIAP. VllI.
il restera seulement six équations distinctes (9), (10), (12) et (i4) qui permettront en général de déterminer les différentielles
CIJ\ % . » m j Cljt\.\ ^ • • • .
Déduisons en effet des équations (i4) les valeurs de </A|, clBi, rfC| et portons-les dans la relation (10), nous aurons
dx dX -hdydn-^- dz dC r:=
S désignant Tare de (L). Cette équation, jointe aux deux relations (9) et (12), dont Tune est du second degré, va nous donner les valeurs de dA, rfB, rfC.
A cet effet, prenons comme inconnue auxiliaire {*) \e déterminant
d.r dy dz ; dX dB dC
si on rélève au carré, en effectuant la multiplication des lignes entre elles et tenant compte des relations précédentes, on trouvera
ds*-
rf.v5
On a donc
^ A ^{\dz -Zdy)dX
\ ^ (Z e/.r — X dz)dB h (X dy — \dx) dC -^
ids^
et l'on est ainsi ramené au système des trois équations (12), (i5) et (16) qui sont toutes du premier degré. Le déterminant de ces équations étant égal à ds-^ elles pourront toujours être résolues tant que le contour (L), réel ou imaginaire, ne sera pas
(») Toutes les fois que l'on doit résoudre un système d'équations algébriquo-i dont la résolution peut se ramener à celle d'une équation du second degré à un r inconnue, il y a avantage à prendre comme inconnue auxiliaire le déterminant fonctionnel des équations par rapport aux inconnues; car ce déterminant, s'annulant dans le cas où les deux systèmes de solutions se réduisent à un seul, ne peut quetre égal à la valeur du radical qui doit figurer dans les formules défînitives et, par conséquent, son carré se calculera rationnellement.
LES FORMULES DE H. SCIIWAAZ. Sq^
une courbe mininia. On obtient ainsi par un calcul facile les valeurs suivantes de r/A, t/B, rfC :
d\ = — ±i-{Ydz -Zdy),
(17) ) ^B = ^' Hz \Z rfr — X dz ), ' 11
dC = -^^ ±L i(X t/j - Y dx)\ d'où l'on déduit, à l'aide des formules (i4)i
(18) ' ^Bi= ^ qi icZ^j'-Xrfj),
rfCi = — qz - (X dV -- Y rfjT),
les signes se correspondant dans les deux systèmes. Prenons, par exemple, les signes inférieurs et supposons effectuées les quadratures qui donnent les expressions de A, B, C; A|, B,, C| en fonction de \. On peut toujours déterminer les constantes qui entrent dans ces quadratures de manière à satisfaire aux équations (11), et l'on retrouve ainsi les formules de M. Schwarz.
248. La méthode précédente peut être généralisée; elle s'appliquerait, par exemple, aux surfaces engendrées par la translation de deux courbes dont l'une satisferait à Téquation différentielle
Jdx dy\
\irz'7z)-''^
et l'autre à une équation de même forme
I dx dy\
Elle offre surtout l'avantage de bien mettre en évidence les cas d'exception; ils correspondent, nous allons le voir, à ceux qui sont indiqués par les théories générales de Cauchy.
Nos raisonnements supposent en effet que les trois équations (12), (i5) et (16) déterminent rfA, c/B, rfC, ce qui n'aura pas lieu
si leur déterminant est nul, c'est-à-dire si la courbe (L) est une courbe minima. Dans ce cas particulier, la méthode tombe en défaut, mais les résultats acquis nous permettent une discussion directe et élémentaire. Il faut, pour que le problème soit possible, que la développablc formée par les plans tangents en tous les points de (L) soit un cône ayant son sommet sur le cercle de Finfîni (n° 233). Si cette condition n'est pas remplie, le problème sera impossible; si elle l'est, le problème sera indéterminé, car on connaîtra l'une des courbes minima dont la translation peut engendrer la surface : ce sera ici la courbe (L); mais la seconde courbe minima sera assujettie à l'unique condition de couper la courbe (L), d'admettre au point commun une tangente donnée et pourra, d'ailleurs, être tracée arbitrairement. La solution du problème contiendra donc encore une fonction arbitraire, comme le montrerait aussi la discussion des équations (9), (10), (i i) et (12), dans ce cas spécial.
Les raisonnements supposent aussi que X, Y, Z sont les cosinus directeurs de la normale en un point de la courbe (L) et satisfont
à l'équation
Xs^-Y2-hZ«=i.
Si la dcveloppable formre par les plans tangents en tous les points de la courbe est circonscrite au cercle de l'infini, les formules n'ont aucun sens. Mais on obtient encore une solution du problème posé, fournie par la développablc elle-même qui doit être considérée (note du n" 187) comme une véritable surface minima. Cette solution est la seule que l'on puisse obtenir dans le cas où (L) n'est pas une courbe minima; mais, si l'on a à la fois
l'indétermination reparaît et l'on obtient encore une infinité de surfaces minima (*). Cette discussion ne présente aucune diffî-
(*) L'interprétation géométrique et la discussion du dernier cas que nous venons de signaler conduisent à une pnquiété générale des surfaces minima que nous nous contenterons d'énoncer.
Étant donnée une sur/ace minima quelconque, lieu des milieux des droites dont les extrémités s'appuient sur les deux courbes minima (T), (F,), l(t courbe de contact (C) de la développable circonscrite à cette surface et au
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culte, mais elle offre de Tintérêt au point de vue de la théorie générale des équations aux dérivées partielles.
249. Les formules de M. Schwarz conduisent à un grand nombre de propositions intéressantes que nous allons faire connaître successivement.
Cherchons d'abord les surfaces minima contenant une droite réelle donnée et admettant aux différents points de celte droite des plans tangents donnés. Si Ton prend la droite pour axe des z, les formules (6) deviendront ici
(»9) Jy=-.L \dz-\-- l Xdz,
X et Y satisfaisant à la relation
20) Xî-T-Yî=i.
On voit immédiatement que, si Ton échange Zt et ^2, z' ne change pas, x' et y changent de signe sans changer de valeur. Donc :
Toute droite réelle tracée sur une sur/ace minima est nécessairement un axe de symétrie de cette surface*
Cette proposition élégante, due à M. Schwarz, conduit à une
cercle de l'infini est aussi l'arête de rebroussement de cette developpable ; on l'obtient en prenant le milieu de tous les segments qui reunissent les points M, M, des courbes (T), (F,) où les tangentes à ces courbes sont parallcles. Tous les points de {C) sont des ombilics; cette ligne est une arête de rebroussement de la sur/ace minima, elle satisfait à la définition des lignes asymptotiques et aussi à celle des lignes de courbure.
Les deux courbes minima dont la translation engendre la sur/ace ne cessent pas, dans leur mouvement, d'être tangentes à la courbe ( C), en sorte que l'on pourrait définir la surface minima comme engendrée par la translation d'une courbe minima (K) qui, dans son mouvement, est assujettie à demeurer tangente à une autre courbe minima (C).
SgS LIVRK III. — CHAP. VIII.
démonstration très simple du théorème de M. Catalan : La seule surface minima réelle réglée est la surface de vis à filet carré. Considérons en efTel, si elle existe, la surface minima engendrée par le mouvement d*une droite réelle et soient (<^i), (â?2) deux positions de cette droite. La droite (rfa), symétrique de {d^) par rapport à (rfa)? appartient encore, d'après la proposition précédente, à la surface. En prenant de même la symétrique de (^2) par rapport à (û^a), et répétant indéfiniment cette opération, on obtiendra une série de droites
{d,), (di), {d,), (d,), ....
qui seront toutes sur la surface et qui appartiennent évidemment à tout hélicoïde gauche à plan directeur qui contient les deux premières (rf) et (rf<). Si nous considérons, en particulier, le plus simple de ces hélicoïdes, celui pour lequel il faut faire moins d'un demi-tour sur la surface pour passer de (di) à (^/o), on voit qu'il contiendra un nombre illimité de droites équidistantes de la surface minima. Si les deux droites (rf|) et (^2) se rapprochent sur la surface, les droites communes à l'hélicoïde et à la surface se rapprochent indéfiniment : la surface doit donc coïncider avec la position limite de rhélicoïde, ce qui dépiontre le théorème de
M. Catalan.
Nous allons exposer encore la démonstration que M. Schwarz a donnée du même théorème, parce qu'elle repose sur une idée ingénieuse et féconde. Lorsqu'une surface réglée contient une droite, les plans tangents en tous les points de cette droite ne sauraient être choisis arbitrairement et sont assujettis à la loi découverte par M. Cliasles. Si Ton prend la droite comme axe des z et si l'on choisit convenablement les autres axes coordonnés, les plans tangents de la surface doivent être les mêmes que ceux du paraboloïde défini par Téquation
où a désigne une constante. De là résultent, pour les cosinus directeurs de la normale en chaque point, les déterminations
v/-5* -h a* /s* -ha»
