LES FORMULES DE M. SCIIWARZ

et, sî Ton porte ces valeurs dans les formules (19), on obtiendra

la surface cherchée.

. En faisant, pour la commodité des calculs,

z — oLi sin/,

ce qui donne

X ttang^, \

cos t

on trouve

\ y — — (cos/i — COS^j), ^' = — ( sin t\ -h sin t^ )

et, par suite.

.r = a arc tan

Cette équation définit bien la surface de vis à filet carré.

2o0. Les formules (19) ne contiennent en définitive que deux quadratures distinctes

r = - / X dz. X — /Y dz.

et l'on a

dx'^ -i- dy'^ = — ^ ;

- sera donc Tare de la courbe décrite par un point dont les coordonnées seraient x et j\ Cela nous conduit à la proposition suivante. Prenons, dans le plan des xj^, une courbe quelconque (y). La surface minima la plus générale passant par Taxe des z sera déterminée par les formules

/ x' = i{xi — Xi),

(21) |/=-- l{yi—J'i)y

\ z' —- Si-T- Si,

^1, Vi ; j?2) y2 désignant les coordonnées de deux points difierents de la courbe, 5| et 52 étant les arcs de cette courbe comptés à partir d'une origine fixe et terminés en ces deux points. L'interprétation géométrique des formules est d'ailleurs évidente. Soient M et N

les deux points de la courbe; par V origine des cordonnees on mènera une droite parallèle à MN et égale à /MN, on élèvera à l'extrémité de cette droite une perpendiculaire égale à la somme des arcs de la courbe terminés en M e^ N ; le sommet de cette perpendiculaire décrira la surface minima.

On peut donner encore rinterprétation suivante : Les deux courbes minima définies par les équations