X — — IX
y - ^Xj
sont celles dont la translation peut engendrer la surface et elles sont placées symétriquement par rapport à Taxe des z.
Pour que la surface soit algébrique, il faudra que les deux courbes précédentes soient algébriques, c'est-à-dire que ^ et x soient des fonctions algébriques des. En d'autres termes, la courbe (y) devra être la développée d'une courbe algébrique, d'ailleurs quelconque.
251. Une autre application intéressante des formules de M. Schwarz peut être faite au cas où la courbe (L) par laquelle doit passer la surface est plane. Supposons, pour plus de netteté, que le plan de cette courbe soit réel et choisissons-le pour plan des xy; les formules générales (6) nous donneront ici
z' = - (\(ix — y
Introduisons l'angle ^ que fait, en un point de (L), le plan tangent à la surface avec le plan des xvy on aura
cfv ^tv
(25) X= — =^sin3, Y— -7— siii3 Z = cos3,
^ ^ ds ^' ds ' • *
LKS FORMULES DE M. SCIIWARZ. 4^1
S étant Tare de la courbe, et les formules ('^4) prendront la forme
'1 if
(îf.)
Si Ton veut que la ligne (L) soit une ligne de courbure de la surface, les normales en tous les points de (L) devront envelopper une des développées de la courbe et l'angle p devra être constant. On aura alors
^1 — (vi cos 3 jr, — i*;, ros ?
, , r\ — ixx cos 3 y^ -^ ix^ cos 3 (27) / v' = îiJ î ÏT -^ -U ? L,
^, 1(^1 — 5,) sin^ z — •
Les deux courbes minima dont la translation engendre la surface* seront définies par les équations
x^ ±L iy^ cos 8 jTi ■ : tri cos 3 ^ Wisinp
Pour qu'elles soient algébriques, il faudra encore que (L) soit la développée d'une courbe algébrique; on a donc le théorème suivant, dû à M. Lie :
Pour que la surface minima admettant une ligne de courbure plane soit algébrique^ il faut et il suffit que cette ligne plane soit la développée d'une courbe algébrique.
Cette proposition générale explique pourquoi fts lignes de courbure planes de la surface d'Enneper sont des courbes rectifiables (no 207).
Si l'on suppose p = -, la courbe (L) devient une ligne géodesique de la surface. On retrouve donc le théorème suivant :
Pour que la surface minima admettant comme ligne géode- D.— I. 26
402 LIVRE 111. — ClIAP. VUI.
sique une courbe plane soit algébrique, il faut et il suffit que cette ligne soit la développée d^une courbe algébrique^
qui est dû à M. Henncbcrg et qui a été le point de départ des travaux de M. Lie sur celte partie de la théorie.
Si, dans les formules (27), on fait p = - , on trouve
on est ainsi conduit à la construction suivante de la surface minima :
Soit MN une corde de la courbe (L). Elevons en son milieu une perpendiculaire égale au produit de i par la demi-différence des arcs de la courbe terminés en M et en N. Le sommet de cette perpendiculaire décrit la surface minima qui admet (L) ]fOur ligne géodésique.
Si Ton échange les points M et N, le signe de la perpendiculaire est changé; on a donc, dans tous les cas, ce théorème :
Si une surface minima admet une courbe plane comme ligne géodésique, le plan de cette courbe est nécessairement un plan de symétrie de la surface.
Ces propriétés de symétrie, que nous avons déjà rencontrées à propos de la ligne droite, ont leur véritable origine dans le fait, qui est mis en évidence par les formules de M. Schwarz, mais qui résulte aussi des théorèmes de Cauchy, qu'il existe une seule surface minima tangente à une développable donnée en tous les points d^une courbe donnée. Car, soit (M) une surface minima admettant la ligne géodésique plane (L) et coupant, par suite, à angle droit le plan de cette ligne; la surface (M') symétrique de (M) par rapport au plan de (L) admettra, en tous les points de cette courbe, les mêmes plans tangents que M et coïncidera par conséquent avec elle; (M) sera donc nécessairement symétrique par rapport au plan de la courbe (L). Ce raisonnement, que l'on pourrait appliquer au cas de la ligne droite, permet de reconnaître que, si (L) a un centre, ce point sera aussi un centre de la surface.
