LES FORMULES DE M. 8CIIWARZ

ri que, si cette courbe a un axe, le plan normal au plan de (L) et passant par cet axe sera un nouveau plan de symétrie de la surface.

On peut donner encore la construction suivante de la surface (|ui admet (L) pour ligne géodésique : Sur le cylindre ayant (L) j)Our section droite traçons une courbe minima (v) et prenons la symétrique (yi) de cette courbe par rapport au plan de (L). La surface cherchée sera le lieu des milieux des segments dont les extrémités décrivent les courbes (y), (y<).

La surface minima admettant comme ligne géodésique nnc parabole a été étudiée dans les premiers Mémoires de M. Catalan. Si Ton prend les coordonnées d\in point de la parabole sous la forme

( j" = — 'xp sin^çp, ('3o) \ , .

( y = ipi sin^,

la partie réelle delà surface sera définie par les équations

!x = 'H ( — p sin*cp), 7=^ •R(!i/?isino),

Si Ton donne à cp une valeur réelle, on reconnaît que la section de la surface par le plan des xz est une cycloïde. Cette courbe, située dans le plan de symétrie passant par Taxe de la parabole, est aussi une ligne géodésique de la surface.

La surface minima admettant comme ligne géodésique une ellipse ou une hyperbole est nécessairement transcendante; mais elle admet, on le reconnaît aisément, une famille de lignes algébriques. Elle a été considérée par M. Schwarz (*).

Nous terminerons ici ces applications des formules de M. Schwarz. Comme Ta remarqué M. O. Bonnet, la solution du problème étudié dans ce Chapitre permet de déterminer une surface minima lorsqu'on connaît, soit une de ses lignes géodésiques,

( ' ) Schwarz^ Ueber diejenigen Minimaljlàchen, welche von einer Schaar von Kegeln zweiten Grades eingehullt werden {Journal de C relie, t. L\\\, pp. 3oi-3i4; 1875).

4o4 LIVRE III. — CHAP. VllI. — LES FORMULES DE. H. SGIIWARZ.

soil une de ses lignes asymploliques, soit une ligne de courbure, soit enfin une de ses lignes d'ombre ou une de ses lignes de perspective; car toutes ces conditions font connaître, en même temps qu'une ligne tracée sur la surface, le plan tangent en chaque point de cette ligne.