ALGÉBRIQUE

Cas où la dévclo|)pabIc est un cylindre. — Le problème n'est possible que si la section droite est rectifiable. — Solution analytique du problème proposé. — Première solution géométrique. — Construction générale des surfaces minimu algébriques inscrites dans une développable algébrique. — Théorèmes relatifs à des cas particuliers donnés' par M. Lie. — Deuxième solution géométrique. — Génération nouvelle des surfaces minima due à M. P.ibaucour. — Le problème se ramène à la détermination d'une surface réglée dont la ligne de striction doit satisfaire à une condition donnée.

232. Les résultats que nous avons exposés dans le Chapitre précédent conduisent naturellement à Texamen d'une question dont la solution offrirait un grand intérêt pour la théorie des surfaces minima algébriques :

A. Déterminer toutes les surfaces minima algébriques contenant une courbe algébrique donnée;

ou plus généralement

B. Déterminer toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans une surface algébrique donnée.

Aucun de ces problèmes n'a encore été abordé dans toute sa généralité; mais, dans son second Mémoire inséré au t. XV des Mathematische Annalen, M. Lie a soumis à une discussion approfondie le problème B, dans le cas où la surface algébrique donnée est une développable. Il résulte de ses belles recherches que le problème peut être complètement résolu si celte développable est un cône, et aussi dans le cas où, la développable étant quelconque, on connaît déjà une surface minima inscrite dans cette développable. Nous allons reprendre ici l'étude de cette

io6 LIVRE III. — Cil A P. IX.

question, et nous montrerons que l^on peut obtenir la solution complète du problème posé par M. Lie.

253. Commençons par considérer le cas où la développable (A) est un cvlindre. La proposition suivante, due à M. Henneberg, permet de reconnaître immédiatement que le problème posé n'est pas toujours possible :

Lorsqu'une surface minima est algébrique, la section droite de tout cylindre circonscrit à la surface est la désreloppée d'une courbe algébrique.

Soit en elFet (S) la surface minima donnée; la surface adjointe (Sq) sera aussi algébrique (n" 210), et Ton aura, entre les points correspondants (x, j^, z) et (Xq, j'o» ^o) des deux surfaces, les relations différentielles

( dx dTQ -4- df dy-Q -+- dz dz^ — o, *^ ( dx^'-^dy^-^dz^=dxl^dyl^dzl,

auxquelles il faut joindre les suivantes (n°212),

\dx -^ Y dy -h Z dz = o, XdxQ-hY dyo-i-Zdzo=Oy

exprimant qu'aux points correspondants des deux surfaces les plans tangents sont parallèles.

Considérons sur la première surface la courbe de contact du cylindre circonscrit parallèle à Taxe des -3, à laquelle correspondra la courbe de même définition sur (So)* On aura, en tous les points de cette courbe,

Z = o, ce qui donnera*

X dx -h \ dy = o,

X dxQ-^ YûÇ^'o = o, ou, en éliminant le rapport ^ »

( 2 ) dx dyQ — dy dxç, = o.

Si, entre les équations (i) et (2), Ton élimine successivemenr