SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉ VELO PPABLE

dxç^^ cIvq et dxj rfr, on sera conduit aux deux relations

(3 ) ^dx* -h dy^ = rf^o»

(4) ^dxl-\-dyl = dz,

qu'il serait aise d'obtenir par la Géométrie et qui démontrent \c. théorème de M. Henneberg; car la première, par exemple, exprime que l'arc de la section droite du cylindre circonscrit à (- ) est égal à z^.

Il résulte évidemment du théorème de M. Henneberg qu'une surface minima inscrite dans un cylindre ne pourra être algébrique que si la section droite de ce cylindre est la développée d'une courbe algébrique. Considérons un cylindre (C) pour lequel cette condition soit remplie et dont la section droite (S) sera placée dans le plan des xy\ proposons-nous de déterminer toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans ce cylindre.

Désignons par j?, y les coordonnées d'un point quelconque de (S); le problème sera résolu si nous parvenons à déterminer les quantités déjà définies Xqj y^^ Zq^ z en fonction de x et de r. La formule (3) nous donne d'abord

S désignant l'arc de la section droite (S); les équations (i) et (2) nous permettent ensuite de déterminer dx^^ dyQ et nous donnent

(5) dx^ = -dx~, ^7o = — û(r^J;

z sera donc, au signe près, l'arc de la courbe décrite par le point (j?o, jKo)î ^^ l'interprétation géométrique des formules conduit sans difficulté à la construction suivante :

On associe, dans le plan des xy, à la courbe (S) une courbe (Sq), assujettie à l^ unique condition d'être la développée dUine courbe algébrique, et Von établit une correspondance entre les deux courbes par la condition que les tangentes aux points correspondants M, M^ soient parallèles. Si Von élève en M une perpendiculaire au plan de (S) égale et de signe contraire à l'arc de (Sq) terminé en Mq, V extrémité de cette perpendiculaire décrira sur le cylindre (C) la courbe de contact de la

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surface minima algébrique la plus générale (S) inscrite dans ce cylindre. Si Von élève de même en M^ une perpendiculaire égale à Varc de (S) terminé en M, V extrémité de cette perpendiculaire décrira la courbe de la surface (^q) adjointe à (S), qui correspond à la courbe de contact de (S) et de (C).

Nous savons d'ailleurs (n" 216) comment on peut déduire, sans aucune intégration, des expressions x^y, '«î«^o>»Xo> ^o l^s équations qui définissent la surface. Le problème est ainsi complètement résolu.

Si Ton suppose que le cylindre (C) se réduise à une droite, on retrouve comme cas particulier la construction, qui a été donnée au n° 250, des surfaces minima assujetties à contenir une droite donnée.

2oi. Passons maintenant à Télude du problème général et proposons-nous de déterminer toutes les surfaces minima algébrique.^ inscrites dans une développable algébrique donnée (A).

Si l'on écrit l'équation du plan sous la forme

{u~>r ai)X -h i(mi— a)Y -T- {uui — i)Z -i- Ç = o, on a, pour toute surface minima, en vertu de l'équation (5) [p. '>^()7]

(6) \ = 'lUif{u)-\-'kuf^{Ui)—{l-\-UU^)[f\u)-îrf[{ui)].

D'autre part, on définira la développable (A) de la manière la j)lus générale en supposant que, pour les plans tangents de celle développable, w, W|, Ç soient des fonctions algébriques données d'une variable auxiliaire t\ et, pour résoudre le problème, il faudra exprimer que Téqualion (6) est vérifiée identiquement quand on y remplace u^ w», ç par leurs expressions en fonction de /. Cette équation contient deux fonctions arbitraires f(u)^ /«('^i) avec leurs dérivées /'(fi), f[{u\)\ si l'on se donnait arbitrairement l'une de ces deux fonctions, l'équation de condition à laquelle on est conduit en substituant pour m, M|, Ç leurs expressions en fonction de t serait une véritable équation difl'érentielle qui n'admettrait pas nécessairement de solution algébrique; pour échapper à cette difficulté, nous introduirons la variable auxiliaire

(7) x./(«)t'-/.(«.)sr