SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉ VELOPPABLE

Si l'on dinrérenlie celte valeur dcX, on aura

xrn \ . rff .^du dui d\ .. .d^Ui ., .d*u

[/(«0+/.(«.)]^ -5^ = ^ -/(«)-5ïr -/.(«•^•5r« '

el, en substituant la valeur ainsi obtenue de la somme

dans Tëquation (G), on obtiendra la relation

du dui

On peut maintenant déduire des équations (^) et (8) les expressions dc/(a),/i (wi), ce qui donne les valeurs suivantes

^ du\ diC^ , ^ dk du

û /• / N \\ du dui . .d^uC\

>. é/if <fwî , ^ dX dut

de dt^ ^ ^^dt dt

0 désignant le dénominateur commun

du du} dux du^

i^ , .fd'^udux d^ut du\

Prenons pour "k une fonction algébrique quelconque de t. Si, dans la première équation (g), on exprime £/|, t, Ç en fonction de w, on aura/(w); si, dans la seconde, on exprime de même w, t, Ç en fonction de £/|, cette équation donnera /i (^/i).

Le problème est ainsi complètement résolu; pour que la surface soit réelle, il sera nécessaire et suffisant que la fonction X le soit, s'il est supposé toutefois que t soit un paramètre dont les valeurs réelles donnent les plans tangents réels de la développable (A).

La solution précédente serait illusoire si la fonction 6 était nulle identiquement : supposons que cette circonstance se présente

4lO LIVRE III. — CII.VP. IX.

et que Ton ail

du du} du\ du^ , [it*-u du\ du d'^U\\

^ z=^iu—, -ri — lUx —, ; f- ( I - uut ) { — r— — , , - . ^ ) = o.

dt dt^ ' dt dt^ ^ ^\dt^ dt dt dt* /

Cette relatioQ constitue une équation diflerentielle dont on obtient aisément l'intégrale générale, qui est

Aw -T- Bmi -1- C{uui — i) = o,

A, B, G désignant des constantes. Cette équation en termes finis exprime que le plan tangent est parallèle à une direction fixe; la développablc (A) sera donc un c^^lindre ; et, en eflct, une étude directe nous a montré que, dans ce cas, le problème n'est pas toujours possible : la surface minima inscrite ne peut être algébrique que si la section droite du cjlindre est la développée d'une courbe algébrique.

La méthode que nous avons suivie s'applique du reste à ce cas particulier; si l'on suppose que le cylindre soit parallèle à l'axe des^', il sera défini par les équations

Ui-Uj ^=^{u).

Si l'on prend ici t = u, on aura

et l'équation à résoudre prend la forme

4'(a)-4-(i-hM*)-T — '2ul — o.

Elle admet pour intégrale la suivante .

>^ r^{u)dii ^^.

il faudra donc, pour que X soit algébrique, qu'il en soit de même

de la quadrature

^{u) du

et l'on retrouve ainsi, par un calcul facile, la condition à la fois nécessaire et suffisante qui résulte du théorème de M. Henneberg.

2ao. La solution que nous venons d'exposer est purement ana-

SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉVELOPPABLE. 4ll

lytique; la suivante offre Tavantage de conduire à une construction géométrique simple des surfaces minima algébriques inscrites dans la développable (A).

Soit (R) l'arête de rebroussement de celte développable : rapportons les points de l'espace, comme nous l'avons déjà lait (Liv. I, Ch. I), au trièdre mobile (T) formé par la tangente, la normale principale et la binormale à cette courbe. Les projections sur ces trois axes des déplacements infiniment petits d'un point, dont les coordonnées relatives à ces axes sont X, Y, Z, auront pour expressions (n'* 3 et i)

d\ -\- (is — - dsj

( lo ) < d\ -T- I— T- -^j (/s,

d?. ds.

Cela posé, le problème sera résolu si l'on trouve deux courbes algébriques (C), (Co), l'une (C) tracée sur la développable (A), l'autre (Cq) située dans l'espace, satisfaisant aux conditions suivantes : les éléments correspondants des deux courbes seront à la fois égaux et perpendiculaires; de plus, si M et Mo sont les points correspondants de ces deux courbes, le plan tangent en M à la développable (A) devra être parallèle h la tangente en Mq à (Cq ). En effet, si l'on considère la surface minima inscrite à (A) suivant la courbe (C), la courbe (C) aura pour conjuguée (Co) sur la surface adjointe, et, ces deux courbes (C), (Cq) étant algébriques, il en sera de même de la surface minima.

Soient jr, o, o les coordonnées de M par rapport au trièdre (ï ) et Xq, ^0» -^0 celles de Mq. Les projections du déplacement de M seront, d'après les formules rappelées plus haut,

(il) dr -h ds, j o ;

celles du déplacement de Mq seront de même

(l'Ji) dx,-^ds--^ds, djro-^{^-i-^\ds, dZo-'~ds.

En exprimant que la tangente en Mq est parallèle au plan des

4l2 LIVRE III. — CHAP. IX.

xy, on trouve cette première condition (i3) iho— ^ds= o.

Si Ton écrit ensuite que les deux déplacements sont à la fois égaux et perpendiculaires, on obtient les deux conditions nouvelles

<|ue l'on ramène facilement aux suivantes

l ' :(dx -i- ds) = dyo ~^ ( -^ -^- — ) ds,

i X ds , , Yods

[ -.-f. ■■■— = cfxo-h ds -'■ — — - ,

où les signes se correspondent. Il est aisé de voir que les équations (i3)et(i4) peuvent donner les valeurs de Vo, ^o» ^ en fonction de Xq\ car, si Ton différcntie la seconde des équations (i i) après l'avoir écrite sous la forme

on obtient, en tenant compte de la première, la relation nouvelle , -V Xq Zq d V l dx^ \"]

(jui, jointe à l'équation (i3) et à la seconde équation (i/î), nous donne les valeurs suivantes de )'o, z^^ x :

(i<i) .Jo^

ds

Ces formules donnent la solution complète du problème proposé. Si la développable (A) est algébrique, il suffira de prendre