SURFACES INSCRITES DANS UNE DE VELOPP A BLE
pour Xq une fonction algébrique du paramètre dont dépendent algébriquement les éléments de la développable; les fonctions ^oj^'o) ^ ^^> ps^r suite, la surface miniina correspondante seront également algébriques.
256. Les formules que nous venons d'obtenir s'interprèlcnl géométriquement de la manière suivante.
Construisons {Jig^ 19) le trièdrc (T) et soit PRQ le plan défini par Téquation
X — Jin, m
oS
Quand le trièdre (T) se déplace, ce plan enveloppe une développable (D); si Xq, y, z' désignent les coordonnées d'un de ses points, les projections du déplacement de ce point sur les trois axes seront, conformément aux formules (10),
(17) dxo-^ds(i-^\ dy-^f'^^^\ds, dz'—^ds.
Par conséquent, l'équation
dxo -+-rf*fi— — j=o,
qui définit les points du plan dont le déplacement est perpendicu laire à Oo:, c'est-à-dire parallèle au plan, représentera la généra-
4l4 LIVRK III. — CHAP. IX.
trice de contact du plan avec son enveloppe (D); la droile QS ainsi obtenue est évidemment parallèle à Oz et Ton déterminera son point de conctact S avec Tarête de rebroussement (S) de (D), en écrivant Téquation
c/y -f- l—->r^jds=^o,
par laquelle on exprime que le déplacement de ce point est aussi perpendiculaire à Oy, Les deux formules précédentes nous conduisent, pour les coordonnées du point S, aux expressions
p "" ds p
La comparaison de ces résultats avec la première des formules (iG) nous donne d'abord
(19) Zo~z'±.':.
D'après cela, si l'on porte sur SQ une longueur
le plan IIKT, mené par le point T parallèlement au plan des xj\ aura pour équation
et, si nous désignons par jr", r'^ Zq les coordonnées d'un quelconque de ses points, les projections du déplacement de ce point seront
(20) dx^^dsli^-^y dy-hf'^-^^^ds, dzo—^ds; par suite, l'équation
définira l'arête de contact NN' du plan avec la développable qu'il enveloppe, développable que nous désignerons par (Aq); et, si l'on joint à la précédente la relation
, . dy' x"
St'HFACËS INSCRITES DANS UNE DÉVELOPPA BLE. 4^^
ces deux formules (21), (22) dc^finiront le point de conlacl N de NN' avec l'arête de rebroussement de (Aq).
Le point Mo où la droite NN' coupe le plan PRQ a pour coordonnées oTo, J'oy ^01 il décrit donc la courbe cherchée (Co), tandis que la droite NN' engendre la développable (Aq). Si Ton remarque enfin que la dernière formule (16) peut se mettre sous la forme
on sera conduit à la construction suivante :
Ittant donnée la développable (A), on construit une courbe algébrique (S) dont les tangentes soient perpendiculaires aux plans tangents de (A) et dont les plans osculateurs soient y par suite, perpendiculaires aux génératrices de{^)\ sur une droite SQ tangente en S à (S), on porte la longueur
