De cette construction générale on peut déduire toutes

celles qui sont relatives à des cas particuliers et qui ont été

données par M. Lie. Supposons d'abord que la développable (A)

soit un cône, son arête de rebroussement, réduite à un point, devra

être considérée comme homothétique à une courbe finie, le

rapport d'homothétic étant nul. Il faudra donc supposer dans la

construction précédente

Le point T se confondra donc avec le point S et le plan IIKT deviendra le plan normal en S à la courbe (S). Par suite, la ligne

4l6 LIVRE III. — CIIAP. IX.

NN' sera Taxe du cercle osculatcur et le point M© le centre de courbure de (S). On est ainsi conduit à la construction suivante, qui est due à M. Lie ( * ) :

Pour obtenir la surface minima algébrique la plus générale inscrite dans un cône algébrique, on construira une courbe algébrique quelconque (S) dont les plans osculateurs soient perpendiculaires aux génératrices du cône, et l'on portera sur chacune des génératrices du cône, à partir du sommet, une longueur égale au rayon de courbure de (S) au point correspondant. U extrémité de cette longueur décrira sur le cône la courbe (C) de contact d' une surface minima algébrique, inscrite dans le cône; la surface adjointe de cette surface minima contiendra le lieu des centres de courbure de (S).

258. Nous indiquerons une autre application particulière relative au cas où la courbe (S), mentionnée au n** 256, se réduit à un point. S'il en est ainsi, les composantes (17) du déplacement du point S devront être toutes nulles, et Ton aura à ajouter aux équations (18) la suivante

r' dz' — '— ds = o,

qui nous donne

ds

, dz'

Comme on a d'ailleurs

d.Pn

l'expression (28) de a: prendra la forme

d( Z() — z' ) ds

a? = rîzT

OU, en tenant compte de l'équation (19),

dz ""^-'^dS

(' ) Mathematische Annalerif l. W, p. 4^8.