SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉ VELOPPABLE

Celle expression de x donne le curieux théorème suivant :

Etant donnée une courbe algébrique (R), si Von porte sur

les tangentes à cette courbe, à partir du point de contact, une

longueur égale à

dx

on obtiendra une courbe (C) suivant laquelle une sur/ace minima algébrique (M) sera inscrite à la développable formée par les tangentes de (R).

Remarquons une fois pour toutes que les propositions données dans ce Chapitre sont applicables aux courbes et aux développables transcendantes. Dans ce cas, au lieu de surfaces minima algébriques, les opérations indiquées nous donneront des surfaces minima que l'on pourra déterminer sans aucune intégration. C'esi ainsi que le théorème précédent nous conduit, si la courbe (R) est transcendante, à une surface minima dont on peut écrire les équations sans aucun signe de quadrature.

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier directement celte proposition par l'application des formules de M. Schwarz. On trouve ainsi pour déterminer la surface les formules suivantes

^,= .Jl[^+ a-. J + i-,(b J ^- " )]>

a, a', a"; 6, fc', b^ \ c, c', c" désignant respectivement les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale en un point de la courbe considérée. Ces cosinus directeurs satisfont aux formules données par M. Serret [p. lo].

259. La proposition que nous venons d'établir dans le numéro précédent donne une solution particulière du problème général qui fait l'objet de ce Chapitre. On doit à M. Lie une construction élégante qui permet de le résoudre d'une manière complète lorsqu'on en connaît une seule solution particulière, obtenue d*ail- D. — I. 27

l8 LIVRE III. — CHAP. IX.

leurs dune manière quelconque; nous allons montrer commenl les résultats précédents conduisent à la proposition de M. Lie.

Reportons-nous aux formules (i6) que nous écrirons sous la forme suivante

(ch d I

dx^ dt

en introduisant les angles de contingence et de torsion, dt^ dr^ ; et supposons que l'on ait déterminé la surface minima correspondante à une valeur particulière x\ de Xq, Si Ton veut obtenir la solution correspondante à la fonction algébrique la plus générale que nous mettrons sous la forme

Xq -T- J^g,

il faudra ajouter aux valeurs trouvées j^'^, s'y, x' dej^'o, Zq^ x des termes r^, z\^ x'' que Ton obtiendrait, par suite de la forme linéaire des équations (26), en remplaçant dans ces équations Xq par x\ et supprimant les termes ±:t, — p qui ne contiennent pas Xq, c'est-à-dire en faisant

ce qui revient à supposer que la développable (A) se réduit à un cône. En particulier, la quantité x" qu'il faudra ajouter à x sera la môme que si la développable (A) se réduisait à un cône; cette remarque, jointe à la construction déjà donnée (n° 2o7) pour le cas particulier du cône, nous conduit au théorème de M. Lie :

Si Von a obtenu une surf ace minima (M) inscrite dans la développable (A), on construira la courbe algébrique (C) la plus générale dont l&s tangentes sont perpendiculaires aux plans tangents de {^) et Von portera sur chaque génératrice rfe (A), à partir du point de contact de cette génératrice avec la surface (M), une longueur égale au rayon de courbure de la courbe {Q*) au point correspondant. U extrémité de cette longueur décrira la courbe de contact de la surface minima atgébrique la plus générale inscrite dans la développable (A).