SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉ VELOPPA BLE
260. Aux deux solutions diflerenles que nous venons de donner successivement on peut ajouter la suivante, que nous allons développer, parce qu'elle repose sur une génération nouvelle des surfaces minima, obtenue dans un important Mémoire de M. Ribaucour (*).
Nous avons vu (n° 220) comment on obtient la surface minima la plus générale au moyen de deux courbes minima (F), (Ti); si M, M| sont deux points appartenant respectivement aux deux courbes, le milieu [jl du segment MM| {Jig» 20) décrit la surface minima et
Fig. 20.
le plan tangent en [jl est parallèle aux deux droites MT, M,ï,, tangentes en M et en Mi respectivement aux deux courbes (T), (r,). Soit (P) le plan osculateur en M à (F), nous désignerons par (i]) la développable qu'il enveloppe et dont (F) «st l'arête de rebroussement; nous désignerons de même par (P|) le plan osculateur en M, à (F,) et par (S,) la développable dont l'arête de rebroussement est (F|). Les deux plans (P), (P,) se coupent suivant une droite qui touche respectivement les deux développables en a et en a, ; je vais d'abord prouver que cette droite aa, est perpendiculaire au plan tangent en [x à la surface minima.
Il suffit, pour le reconnaître, de se rappeler la propriété caractéristique des plans tangents au cercle de l'infini : toute droite
(•) RiBAL'couR, Étude des élassoïdes ou surfaces à courbure moyenne nulle. Mémoire couronné par rAcadémie de Belgique dans la séance publique du 16 décembre 1880 {Mémoires couronnés et Mémoires des savants étrangers publiés par l* Académie royale de Belgique, iu-'i", t. \L1V; 1881).
4li> LITIE IIX. — ClâP. IX.
ff^Tp^niicTilkiz^ à CD Ici pliiii Ilî c^I ius^sx f<«r&ilrl<> et \'^ pA&ser pir 1<^ |«>:nl de cocl^ct «ia pijfcn avec Ir ciercle de rinâni. Il rësnlte de 1^ que li Uarecle ÎIT ?:iTùre dus le f-lin P le: scia perpeiMlicai«îre et §en. par ^che. perp^n-iicoiaire à la diXHte ZX|, «hoêe «ikiks ce pl^n. Pocr Ik mên^ercÎ5<*>n. xx, >era p«erpeo Jiculaire à M. T.: elle >era donc f-erpeodicaliire ki p!ui Uin^ciiL en a. qui e^t par^Irle à la toU â MT et « M. T..
Ge point étant ^taLli. dou§ remarqaeni'nf de p*Ii]< que le plan famrent en u. qui r?l parallèle aa\ deax dr^^îîe? MT, M,T«. est au«fî â de« distance? r,^le5 de Crf deux droites: il p«afsera donc nécessairement f*ar le miliea Z di se arment de dr^>îte ai..
En réunissant t'>as ces résultais, on oblici^l c\îdrinnient le mode de ^éoérïtîon suivant des surfaces micîma. qui a été donné par M. RiLaucour :
Si l'on considère drux d^freïofpabUf 1 . -, . circonscriies l'une et l'autre au cercle de l'infini, la sur/ace m in im a la p lus zên êral^ e%t l'en are lopf-e de < p li n s p'e rf'e n die u laires à to u tes les (an re/i tef c onun unes de ces de u x de* e l^^ff-' '' .V .* - •-* -.' < p la ns éian i menêi à i^ale distance des deux f'-idnis de entait Je ces tan-c en te s communes.
Celte dr^finîtion est moins simple el m^'ins complète que celle •le M. Lie. qui détermine à la t\>îs le point et le plan Lan^nt de la «Tjrijce minima: mais elle oîTre Ij^anta^e de ne l'aire intervenir 'jue les plans tangents, et elle assc*cie à la surface minima. lieu du ji'în! yL- la surface lieu du point z. à laquelle M. Rîkiucour a donné le nom de surface mc-yenne el dont il a fait connaître un srand niiiiLre de proptriétés remarqujMes.
Les droites iZ| d-^penJent évidemment de deux paramètres et r!!es engendrent ce que Ion app'.îîe un svslème de ravons rectiliiTies ou une con^rruence. Comme elles sont lan.:onle> à la fois aux deux développables 1 ,1.". il est clair que toutes les surfaces réi;!--es formées de ces droites »]ui contiendront, par exemple, lune d'elles zz, seront tangentes les uoes aux autres aux pK>int5 z el z,.
Les plans tangents communs en ces deux px>ints, étant ceux des •l-veîopfables A*. A, \ sont, par cela même, tangents au cercle
SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉ VELO PPABLB. 4ai
de Vinfini. Or il est aisé d'établir, soit par l'Analyse, soit par la Géométrie, la proposition suivante :
Etant donnée une surface réglée^ si, par une de ses génératrices, on mène les deux plans tangents au cercle de l* infini, le segment formé par les deux points de contact de ces plans a pour milieu le point central de la génératrice; de plus il est égal au paramètre de distribution multiplié par 21 (*).
Il suit de là que la surface moyenne est le lieu des lignes de striction de toutes les surfaces réglées formées avec des droites de la congruence, et que le paramètre de distribution est le même pour toutes celles de ces surfaces qui contiennent une même droite de la congruence. M. Ribaucour, à qui sont dus ces résultats, les a obtenus par des méthodes qui en font moins bien connaître la véritable origine.
La génération précédente conduit à une solution très simple du problème que nous avons à résoudre. En effet, si l'on considère une développable (A) circonscrite à une surface minima, les droites aai perpendiculaires aux divers plans tangents de (A) formeront une surface réglée dont la ligne de striction devra être décrite par le point de la droite aa^ qui se trouve dans le plan tangent correspondant de (A). Nous sommes ainsi conduits à la proposition suivante :
Pour obtenir toutes les surfaces minima inscrites dans la
(') Si ron prend, en cflfel, la droite pour axe des Zy le plan central pour plan des xz et si Ton place l'origine au point central, la surface réglée a, en tous les points de la droite, les mêmes plans tangents que le paraboloïde défini par Téquation
où CL est le paramétre de distribution. Pour un plan tangent au cercle de l'infini, on doit avoir
On obtient donc pour z les deux valeurs
+ a«, —ai; d'où résulte immédiatement le théorème.
4'i-i LIVEE III. — CaAP. IX.
(irs'ohpptjhlc ^AV on déterminera toutes les surfcœes réglées dont les génératrices sont normales aux plans de (A) ei qui ont pour ligne de striction la courbe engendrée par le poini de rencontre tle chacune de ces génératrices avec le plan correspondant de ^A^. l^s arêtes de rebroussement des deux dés'cloppahlcs cif^conscritcs à la surface réglée et au cercle de r in fini seront les deux courbes ■ F ». ^F, "• au moyen desquelles on peut engendrer bi surface mînima.
Pour dôlormînor les surfaces réclôes satisfaisant aa\ conditions que nous venons d'énoncer, reprenons les méthodes du n* S55 cl rrt|>|>orlons les points de Fespace au triêdre <T» relatif à Faréle de rehnnissemenl ^H^ de >A'.iLa droite qui engendre la surface réglée ehen^Kée aura pour équations, relativement à ce trièdre,
et le déplrtcemenl d\ui de ses points x,. i',. r, . dans un monvemenl in fini nie ni petit du trièdrt^ aura pour composantes
, , y \ *i$ j T. lis z- fis , Vj ds tlJT^ •» «Ta - % ,n ; — — : — — :; — - aj. — ^ •
Le plAU tans^enl en ce )H>int à la surface réglée aura donc pour équjition
V^uand c, xane. on obtient lr>pl«n> Ur:fcr.is en tous les points de la diN^ile: en particulier, pour r. = x, c^n ;rr»T3Te le plan
le plar c:ii:ral, 3e\ariî éirf :vr:x'r:l .-.L.ii.rf a- firt-cedenl, corres.pi>ï> ira j^ U \ i;x^i; : i^ r r *i .-^r.r ; -f ; .tr * : •;j •; 4 :i Mi
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