NOIK SLR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ET SUR LES SURFACES SPIRALES

1. Au n" 90. où nous avons considéré pour la première fois les surfaces spirales, nous avons vu que leur élément linéaire peut toujours être ramoné à la forme ( 42 i [l, p- i loj. Cette forme est équivalente à celle qui est définie par la formule suivante

^A- = l -e-'{ flu--+- t/r- ).

OÙ U désigne une fonction de u. Conformément à une remarque qui est due à M. Maurice Lévy, nous avons reconnu que celte forme convient à une infinité de surfaces spirales. Car si l'on définit une telle surface par les équations

\ =^re'

' cosi (O -1- Al 1.

■ siiii to -t- h\' 1.

où h désigne une constante et où z. r, w sont des fonctions de u. on aura, en exprimant que l'élément linéaire est donné par la formule ( i •. les trois relations suivantes

i L - = /■-! I -i- //■- I -1- z--. (3) - o ^ zz -^ ,/ -^ /ir-oi .

qui, pour chaque valeur de //. déterminent les fonctions r. z, 'jj. Nous nous proposons maintenant de compléter les résultats précédents et de prouver que l'intégration du système précédent se ramène à celle d'une équation dinérentielle remarquable, déjà

444 NOTES DE l'auteur. — NOTE VI.

rencouJrée et signalée d'ailleurs dans difFérenies parties de cet Ouvrage ( ' ).

V l'inspeclion des équations (3) on reconnaît immédialement que, en supposant i -+-//- différent de zéro, l'on pourra, parl'élimination de /• et de (o, obtenir pour z une équation différentielle du premier ordre. On déduit, en cU'et, des deux premières

, Il

En éliminant, au moyen de ces équations, r et w dans la troisième équation (3), il restera pour z l'équation différentielle

dont l'intégration seule pourra faire connaître les surfaces cherchées.

2. Or, au n" 621 |[ïl, p. 83 1, nous avons rencontré l'équation suivante

qui ne diffère de la précédente que par les notations; et nous avons vu que l'intégration de cette équation différentielle permet de détermijier toutes les lignes géodésiques des surfaces dont l'élément linéaire est défini parla formule

ds-^ = V [ du ■'--\'(u^Nyydi>''-\

V 1 est, comme V, une fonction de r; toutes les fois que cette fonction se réduit à une constante, l'élément linéaire, nous l'avons vu, se réduit à celui des surfaces spirales.

On peut donc dire que l'intégration d'une équalion diftérentielle de forme (5) ou (6) fera connaître les lignes géodésiques d'une

(') On pourra consulter la Note S,ur la détermination des surfaces spirales d'après leur élément linéaire, insérée par M. Haffy au Tome CXTI, p. l'j^i des Comptes rendus, en 1891.