FORMULES DEULER ET DÉPLACEMENT FINI. 44 I

Alors les deux premières inversionj. définiront une roialioa ainsi que les deux suivantes. Donc :

Le déplacement d'une figure insariahle se ramène d'une infinité de manières à deux rotations successives.

Soient (fi?) et (rfi) les axes de ces rotations et ( o) leur plus courte distance. La rotation autour de (d) peut être remplacée, nous l'avons vu. par deux renversements autour de deux droites, dont la seconde sera ( o); soient <0|) et (o) ces deux droites. Il suffit que (o,) coupe {d). à angle droit, au même point que (â), et fasse avec < o), dans le sens convenable, un angle égal à la moitié de la rotation. De même la seconde rotation pourra être remplacée par deux renversements autour de deux droites <^ô), (d, ), pourvu que (02 1 soit convenablement choisie. On aura donc à effectuer quatre renversements, dont deux consécutifs autour de ( o » se détruiront. Donc :

Tout déplacement d'une figure invariable se ramène par des constructions géométriques à deuv renversements successifs autour de deux droites (ô, ), (oj).

De cette proposition fondamentale on fait dériver simplement la notion du mouvement hélicoïdal fini. Car menons par ( ô| t deux plans rectangulaires (Pi ), (P', ) dont le premier soit parallèle à loa» ; menons de même par (6|) deux plans rectangulaires ( Po »! P, i dont le premier soit parallèle à (ô,^ et. par suite, à iP| i. Les deux renversements se ramèneront aux inversions planes relatives aux plans (P, ), (Pi)> (P2); (Pî)- Les deux inversions intermédiaire», étant relatives à des plans parallèles, équivalent à une translation, qu'on peut échanger ensuite, soit avec la première, soit avec la dernière inversion plane. Ces deux inversions, étant lupprochées. se composent en une rotation, qui a lieu autour de la plus courte distance de ( 0| i et de"(Oj ).

On voit donc que tout déplacement fini se ramène îi une rotation et à une translation parallèle à l'axe de la rotation.

8. De même qu'une rotation est représentée par uu angle, le déplacement précédent peut être représenté comme il suit : Prenons sur l'a\e deux points A et B séparés par une dislance égale à

la moitié de la translation el élevons eu A et B deux perpeudicu- Jaires à l'axe, (â|), (Ô2), faisant un angle égal à la moitié de la rotation. Le déplacement sera défini par ces deux droites; car il équivaudra à deux renversements successifs autour d'elles. On pourra leur imprimer, cVailleurs^ le m^ouvement du verrou autour de l'axe, c'est-à-dire les faire glisser et tourner d'une manière quelconque autour de l'axe, sans qu'elles cessent de définii' et de représenter le mouvement hélicoïdal.

De là résulte un moyen très simple de composer deuv uiouvements finis quelconques. Car soient (oi ), (o^); (o', ), 0.^) les droites qui les définissent et soit [d) la plus courte distance des axes des deux mouvements jqui sont les plus courtes distances de (o)), (o^) el de (0,), (ô.^) respectivement]. On pourra, en faisant tourner el glisser (<5|), (ôo) autour de l'axe du premier mouvement, amener (02) à coïncider avec (<i) : en opérant de même dans le second mouvement, on amènera (ô, ) en coïncidence avec (d). Alors les deux renversements intermédiaires autour de la droite [d) se détruiront, et le mouvement composé se réduira aux deux renversements autour des nouvelles positions de (oi), ("^i)) c est-à-dire (|u'il sera complètement et simplement défini.

Inversement, si l'on veut étudier les décompositions d'un mouvement donné, en deux rotations par exemple, la uuHhode précédente donnera très aisément la solution. Car soient (0,), (o^j les deux droites définissant un mouvement; on leur adjoindra une droite (ô) les rencontrant toutes deux, et il est clair que le mouvement pourra être remplacé par des rotations définies, la première par l'angle des droites (oi), (ô), la seconde par l'angle des droites (ô), (ôa). Nous nous contenterons de ces rapides indications en faisons remarquer toutefois que, dans l'Ouvrage cité plus haut [III, p. 479]» nous avons appliqué des méthodes analogues à la composition des inversions sphériques.