SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

infinité de surfaces, parmi lesquelles se li"Ouveront des surfaces spirales, cl dont rélémont linéaire dépendra d'une fonction arbitraire V| (en dehors de celle V qui figure dans l'équation i.

Enfin, au n" 732 [III, p. 3o3] nous nous sommes proposé de déformer une surface réglée de telle manière que l'une de ses courbes, assignée à l'avance, devienne plane, et nous avons reconnu que la solution de ce problème dépend d'une équation ditterentielle du premier ordre appartenant au type suivant

1 7 I M I --+- u\ ri 'h- P r- = i.

OÙ M, N, P sont des fonctions quelconques de la variable indépendante jc. Cette nouvelle forme comprend évidemment comme cas particulier les formes ( 5 i et (^6) : nous nous proposons de justifier une indication déjà donnée [III, p, 3o4, note] et de montrer tout rintérêt que présente l'étude analytique des équations diflérenlielles précédentes.

Remarquons d'abord que l'on peut très aisément ramener l'équation ('-) à la forme (5). En effet, écrivons-la comme il suit (P , 'h- \yr-^( PM — \î ) ) ^ = P.

Si l'on détermine une fonction X par la quadrature

ot si l'on effectue la substitution

l'équation deviendra

et il suffira de changer la variable indépendante en substituant à a: la variable définie par la quadrature suivante

ilr.

pour obtenir la forme réduite

, {du-- P\-

où il faudra exprimer le second membre en fonction de r'.

3. Puisque les formes ( lo) et ( " ) oui le même degré de généralité, gardons l'équalion (-), et voyons comment on pourra la ramener à une équation du premier ordre et du premier degré.

Il suffit pour cela de prendre comme inconnue auxiliaire le quotient suivant

On aura alors

En exprimanlque r'est la dérivée dej', on trouvera pour/, l'équation

(i3) 2(NÀ-4- P)/.'= M'À-'+2(N'-4-M)À2+(P'^4N)À -+-2P,

qui est bien de la forme annoncée.

Si l'on considère toutes les équations du premier ordre et du

premier degré

et si l'on so propose de les classer d'après la manière dont y entre dans la fonction y, on rencontre tout d'abord l'équation linéaire et l'équation de Riccati. La plus simple, après celles-là, si l'on admet toutefois que la variable )' puisse être soumise à une substitution homographique sans que la forme de l'équation soit altérée, est la suivnnie

a 1 ••'• -In b V- -\- c )-\- d

où rt, />, r-, d. f, /'sont des fonctions données, mais quelconques, de la variable indépendante.

L'équation précédente contient l'équation ( i3) comme cas parliculier;nous allons montrer que, si l'on en connaît des solutions particulières, on pourra toujours, par des substitutions simples, la ramener à une forme type ne contenant plus qu'une fonction arbitraire.

4. Appuyons-nous sur la propriété essentielle : l'équation ne change pas de forme lorsqu'on effectue sur la variable r une subslilution bomographique quelconque. D'après cela, si l'on connaît