SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
trois solutions parliculières j^o, J'n ^'s, eflectuons la subslitulion humographique qui leur fait correspondre les valeurs o, i, oc. La nouvelle équation devant admettre ces solutions particulières, ou aura
et elle prendra la forme "~
d\ ) 1 I — 1 I dj- e y -k- /
En changeant de variable indépendante on pourra simplifier encore et réduire à l'unité une des fonctions e ou /. avoir, par exeuipic. la forme typique
d\ r I I — \ > d.i- il — )
La manière même dont nous l'avons obtenue prouve qu'il v aura un nombre illimité de formes typiques.
On peut encore elTectuer dans l'équation ( i4 ) la substitution
on aura alors pour z l'équation diUérentielle
la dérivée est, cette fois, une fonction entière de z.
La forme précédente est conservée si l'on effectue sur z une substitution de la forme
IX ; = A>. -i- B;
on peut disposer des fonctions A et B de manière à faire correspondre à deux solutions particulières ^o, ^i deux valeurs constante* h. h' de À. Alors l'équation en À prendra la forme simple
(19) À'= (X — //MA — /*' H r. À H- D t.
Un changement de variable réduira à l'unité l'une des fonctions C ou D.
5. Cette nouvelle transformation permet de montrer que l'inté-
gralion de l'(^quallon générale (i4) peut se ramener à celle de l'équalion
el vice versa. Car si l'on effectue ici la subslilulion
on trouve [)Our /. l'équation
-,,,/, aX
et il est clair que, par un changement de la variable indépendante et par un choix convenable des constantes arbitraires li, h\ on peut ramener l'un à l'autre les deux types (19) et (22).
6. Nous avons indiqué, dans le cours de cel Ouvrage, et notamment dans la théorie des lignes géodésiques, plusieurs cas particuliers dans lesquels on peut intégrer l'équation (20) et, par suite, l'équalion (i4)- Nous nous contenterons des rapprocliemenls que nous venons de signaler en faisant remarquer que l'on pourra obtenir en quelque sorte une suite illiuiitée d'équations intégrables de la forme (i4) en cherchant celles qui admettent des fadeurs intégrants de la forme suivante
//i,. m-i- . ■ ■ étant des constantes el X<, X2, . . . des fonctions de ji . Dans un Mémoire sur quelques équations différentielles non linéaires., inséré en 1887, qm Journal de V Ecole Polytechnique |LVII'' Cahier, p. 189], M. R. Liouvillc a développé quelques propositions relatives à l'équation précédente, prise sous la forme (17).
NOTE YII.
