SUR LA FORME DES LIGNES DE COURBURE DANS LE VOISINAGE DUN OMBILIC
1. Dans l'étude que nous avons faite à différentes reprises du système orthogonal formé par les lignes de courbure d'une surface, nous avons laissé de côté l'examen de la question qui va faire l'objet de cette Note.
Le problème que nous nous proposons a déjà été étudié par différents géomètres, et notamment par l'illustre Caylev ('). Bien qu'un peu spécial par sa nature même, il offre un vif intérêt, parce que sa solution complète exige l'application des méthodes employées pour l'étude des points critiques des équations différentielles par Briot et Bouquet et par leurs continuateurs dans ce genre de recherches, MM. Poincaré et Picard. Nous allons démontrer ici les résultats que nous avons communiqués en i883 à l'Académie des Sciences (^).
2. Si l'on place l'origine des coordonnées rectangulaires à l'ombilic, en choisissant pour plan des xv le plan tangent en ce
(') A. Cayley. On dijferential Equations and umbilici {Philosophical Magazine, voL XXVI. p. 373-379 et 44 «-402; iS63). Voir aussi the Collerted mathematical Papers of Arthur Cayley, vol. V, p. ii5.
M. Emile Picard a bien voulu me communiquer les épreuves du tome III de son Traité d'Analyse où il rattache l'étude de cette question particulière aux théories générales qu'il a développées sur les points singuliers des équations différentielles.
(-) Sur les lignes de courbure de la surface des ondes {Comptes rendus, t. XCVII p, II 33). Voir aussi Annales scientifiques de V École Normale supérieure, 5* série, t. VI. p. 385.
point à la surface donnée, l'équalion de celle surface prendra la forme suivante
où /c désigne l'inverse du rayon de courbure principal, les lermes non écrits étant du 5'" ordre au moins par rapport à a: et à y. Si nous désignons ici par P, Q, R, S, T les dérivées premières et secondes de z-, qui entrent dans l'équation didérentielle des lignes de courbure, nous apurons
./■ H — x- -+- b xv H — y-
Q z= hy -h ./;--+- b'xy-i Y- ■+- '. •/>, -H '- x-y -i- — xy- -h — Y'' ■
(2) / R = k -+- ax H- by
Portons ces valeurs des dérivées dans l'équation difTérentielle des liiirnes de courbure
(3) [8(1 + ?^)— PQR]^^r^-+-[T(i + P^) — \\{v^ <:!})] dx d y
-+- [PQT — S(i + Q,)] dy^ = o ;
il viendra
( 4 j 6 ifc' -h //.y H- ' x- -I- ( Y — /» ■'■ ) .ry H- — r- ( ''/■*■' — <"■(>'-)
-+- M dx'- -f- N c/.r dy -f- M V/>-2 = o,
M, N, M' étant du troisième degré au moins par rapport aux coordonnées X et j'.
SUR LA FORME DES LIGNES DE COURBURE. ETC. 45l
3. Pour l'ombilic, nous nous trouvons dans ce cas eiceplionnel où l'équation différentielle est de degré supérieur par rapport à-^ et où le coefficient différentiel devient indéterminé.
Remarquons d'abord, pour expliquer la méthode que nous allons suivre, que, lorsquen un point A le coefficient différentiel devient indéterminé, on peut considérer ce point, accompagné de toutes les tangentes qui v passent, comme donnant une solution particulière de l'équation différentielle. Si l'on prend, en effet, les polaires réciproques des courbes intégrales, elles satisfont encore à une équation diflerentielle du premier ordre que l'on formera aisément. Et alors, au point A, pour lequel le coefficient différentiel est indéterminé, correspondra une droite dont le point de contact sera indéterminé, c'est-à-dire une droite {d) qui sera une solution particulière de la nouvelle équation différentielle. Par suite, au lieu d'étudier les solutions de la première équation dans le voisinage du point A où le coefficient différentiel est indéterminé, on pourra étudier les solutions de la seconde qui sont voisines de la droite (d). ce qui ne présentera de difficulté que pour certains points exceptionnels de la droite.
Pour appliquer cette remarque, effectuons la substitution si souvent employée, qui remplace la courbe cherchée par sa polaire réciproque relative à la parabole
c'est-à-dire introduisons, à la place de x et v. les variables/) et u définies par les équations
(5) P""dJr' u=px—y, de sorte que l'on aura
du
(6) ^^dp^ y=px — u\
et que l'équation de la tangente à la courbe cherchée sera
Avec ces nouvelles variables, l'équation diflerentielle qui
représente la ligne de courbure ou, plus exactement, sa projection sur le plan tangent, prendra la forme suivante :
, , ,j du du'- du , ^
(7) H -^ 1- Km -4- Hi -7— -(- Kl?/,-;- -+- Lia-^-+- z, — o,
dp dp- dp ' '
où l'on aura
f H = b -f-(s>6' — a)p-\-(a' — ■ih)p-— h' p"^^
j Kl = A-:! — Y ^ ( [3 — ■>. ,3')/> -4- ( •> 7 — a' ^- A-:' )/>'•; + 3' //',
et où les termes contenus dans 9 seront du troisième degré au moins par rapport aux deux variables w, -j- •
4. Nous voulons obtenir les solutions pour lesquelles ic et y, c'est-à-dire d'après les équations (5) et (6), UQi -r^ sont très petits, la variable indépendante nouvelle p pouvant recevoir des valeurs quelconques. A cet effet, effectuons la substitution
(9) u = ct.u',
a étant une constante très petite et u' étant supposée finie; l'équation différentielle prendra la forme
Pourvu que nous écartions les valeurs de/>, pour lesquelles on a (II) H = o,
l'intégration par les séries de l'équation différentielle précédente nous donnera une fonction u' développable suivant les puissances de a. Par suite, si nous supposons que/? varie entre deuxlimites/^o. Pi ne comprenant aucune racine de l'équation H = o et si nous supposons que u' soit assujettie, par exemple, à rester égale à l'unité pour j9 =::i/)o5 u' sera une fonction continue de a dans tout l'intervalle {po, p\) et elle se réduira, pour a = o, à la fonction
du'
Hi du'-^
aK| , flu'
dp -
Il " "
""' H dp-^
Jl " dp ~
qui satisfait à l'équation
du' K ,
Si donc nous conservons cette unique équation, son intégration nous conduira nécessairement à une courbe qui sera semblable à la ligne de courbure infiniment petite, réserve faite, pour le moment, des parties de la courbe qui sont dans le voisinage des points où le coefficient angulaire de la tangente satisfait à l'équation (il).
5. Il convient donc d'abord d'étudier l'équalion précédente, identique au fond à celle qui a été considérée par Cavlev; l'intégration de cette équation nous donnera la solution de ce que nous pouvons appeler la partie principale du problème.
Si nous remplaçons les polvnomes H et K par leurs expressions l'équation devient
du' b'p^->r\b — a <p — h
(i3) — - = dp.
u' b'p^-^{ib — a)p'--k-\^a — ib )p — b
Les variables sont séparées et l'intégration n'olVre aucune difficulté. Au lieu des arbitraires a. 6. a . b' . nous allons mettre en évidence les racines du dénominateur H, que nous supposerons distinctes. Soient a, 3, y ces racines; on aura
En introduisant les quantités A. B. C déterminées par les formules suivantes (*)
-2 6'=è'(a3-^3tV-t-pY),
- -iè = 6'( a -t- 3 -(- v)j
b = è'aS-;.
Ya") (i -i-
ri -f- aM (l -1-
3ï|(i^aY)
(') Il résulte de ces expressions de A. B, C que les polynômes K et H ne peuvent avoir une racine commune sans en avoir deux.
454 NOTES DE l'auteur. — NOTE VII.
l'équation deviendra
// /> — y. p — il p — Y
En intégrant, nous aurons
M désignant une constante arbitraire. Si l'on pose
les valeurs de x et de r déduites des formules (6) seront
r = (^ [/^- — I — /> ( ap7 -(- a -+- p -+- y )J,
( y — *-"[~ *?T(/'" — 1) — (i -H «3 -(- 3y -f- fa)/'].
On déduit de ces expressions les formules bien plus élégantes
l y — a.x —-- v(p — a)(i-t-/>a)(i-i-pY),
(20) , j[îa- ==-^-(^ — P)(i+/?p)(i-Hya),
On voit que la forme limite de la ligne de courbure est loin d'être un cercle, comme l'ont pensé quelques auteurs.
6. Nous allons maintenant discuter les résultats précédents et nous commencerons par supposer a, |3, y réels.
Introduisons les angles a', (3', y' définis par les formules
on trouvera alors
I A= — cot(a' — y') cot(a'— p'). A — i = —
(•22) ( B = — cot( V-- a')cot(p'— y'), B— i= —
C = — cot(y'— a')cot(y'— p'), C — 1 = —
cos^fî'
siii(
oosfy'
sin(a' —
sin (
sin(P' — -8')
sin^y' — a') sin(y' — p')
En considérant sur le cercle trigonométrlque les extrémités des six arcs
et tenant compte de ce qu'on peut faire tourner les axes dans leur plan ou augmenter de - l'un des arcs a', (3', y \ on verra facilement que toutes les dispositions ditTérentes de ces quantités peuvent se ramener aux suivantes.
Ou bien il est possible d'enfermer dans un même angle droit les trois droites de coefficients angulaires a. 3. y; ^^ alors les six angles donneront lieu à la disposition suivante
quand on les rangera par ordre de grandeur croissante.
Ou bien il sera impossible d'enfermer les trois droites dans un angle droit, ce qui donnera naissance à la disposition
(II) a'. 3'. — -4- a', -'' Il -+. 3' Il h y'.
En se reportant aux formules (22), on trouvera les signes suivants pour les exposants
Disposition I — -h — — — —
Disposition H — — — — — —
Avec la disposition I, il v aura deux directions asvmptotiques de coefficients angulaires a et y: car f devient infini, ainsi que x et y. lorsque p s approche de a ou de y- Comme r — «jr, y — --x deviennent aussi infinies, les branches infinies sont toutes deux paraboliques.
Lorsque/? tend vers 2t. la courbe passe à l'origine; on a approximativement
K'. K", K'" désignant des constantes. On déduit de là
(23) V — 3j- = Lx
L désignant une quantité finie. Si B n est pas commensurable, cette singularité n'est pas algébrique.
456 NOTES DE l'auteur. — NOTE VII.
On trouverait de même, pour les branches paraboliques, les expressions approchées
(•24) y — (xx:^Lix^-\
La figure 91, construite pour l'hypothèse particulière.
Fig. 9'-
donne une idée de la forme que présentent, dans ce cas. les lignes définies par l'équation (12).
Dans la disposition II, x, et y deviennent toujours infinis quand p s'approche de l'une des valeurs a, (3, y; mais y — <xx, y — j3x, y — yx tendent vers zéro. La courbe admet pour asymptotes les trois droites issues de l'origine et de coefficients angulaires a, ô, y. La figure 92 fait connaître la forme qu'affectent, dans ce cas, les projections des lignes de courbure.
Aucune d'elles, sauf les trois droites qui sont des solutions particulières de l'équation différentielle, ne passe à l'ombilic O.
7. Supposons maintenant que deux des racines a, |3, y, (3 et y
par exemple, soient imaginaires conjuguées. Alors A et A — i sont négatifs, et la courbe a une branche parabolique.
Fig. 9a.
Pour fixer les idées, supposons que l'on ait
Alors en faisant tourner les axes, on pourra supposer
et les projections des lignes de courbure, représentées par l'équation
seront des paraboles homofocales.
L'hypothèse que nous venons de faire est celle qui convient aux ombilics des surfaces du second degré. Dans ce cas, en effet, les termes du troisième degré dans l'expression de z doivent être divisibles par les termes du second degré. On a alors
a = 36', a' = 'ib et l'équation
qui admet les racines x. j3. ;, se réduit bien à la suivante
Nous nous bornerons à ces hypothèses générales, nous conten-
458 NOTES DE l'auteur. — NOTE VU.
tant de signaler, par exemple, le cas où Ton aurait
